Uzwarcenie Čecha-Stone'a

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Uzwarcenie Čecha-Stone'a to pojęcie w topologii określające specjalne uzwarcenie T₂ całkowicie regularnej przestrzeni topologicznej.

Badania tego uzwarcenia były zainicjowane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha^[1] i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone'a^[2] w 1937.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Konstrukcja βX
4 Uzwarcenie przestrzeni liczb naturalnych
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną. Dla uzwarceń Hausdorffa $(Y 1, e 1)$ i $(Y 2, e 2)$ przestrzeni $X$ napiszemy, że $(Y_1,e_1)\sqsubseteq (Y_2,e_2)$ jeśli istnieje funkcja ciągła $f:Y_2\longrightarrow Y_1$ taka, że $f\circ e_2=e_1$ . Relacja $\sqsubseteq$ jest praporządkiem. (Ściśle biorąc wszystkie uzwarcenia danej przestrzeni tworzą klasę właściwą, ale jeśli jest to potrzebne to możemy ograniczyć się do jej fragmentu zawierającego przedstawicieli dla każdego typu homeomorficznego uzwarcenia.)

Pokazuje się, że istnieje element największy w praporządku $\sqsubseteq$ . To największe uzwarcenie jest nazywane uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni $X$ lub też uzwarceniem maksymalnym przestrzeni $X$ i jest oznaczane przez $β X$ .

Należy zauważyć, że jeśli $(Y_1,e_1)\sqsubseteq (Y_2,e_2)$ oraz $(Y_2,e_2)\sqsubseteq (Y_1,e_1)$ , to istnieje homeomorfizm $h:Y_1\longrightarrow Y_2$ spełniający warunek $h\circ e_1=e_2$ . Dlatego też uzwarcenie $β X$ jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na $X$ ).

[edytuj] Własności

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone'a $β X$ przestrzeni $X$ . Następujące twierdzenie, które cytujemy za R. C. Walkerem^[3], podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech $(X,τ)$ będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną. Wówczas $X$ ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na $X$ ) uzwarcenie $β X$ które ma następujące równoważne własności:

każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni $X$ w zwartą przestrzeń T₂ może być przedłużone (jednoznacznie) na $β X$ ,
każde uzwarcenie przestrzeni $X$ jest ciągłym obrazem przestrzeni $β X$ przez odwzorowanie które jest identycznością na $X$ ,
każda ograniczona funkcja ciągła $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ ma przedłużenie ciągłe na $β X$ ,
jeśli $Z 1, Z 2$ są zbiorami punktów zerowych pewnych funkcji ciągłych z $X$ w prostą rzeczywistą ${\mathbb R}$ , to ${\rm cl}_{\beta X}(Z_1)\cap {\rm cl}_{\beta X}(Z_2)={\rm cl}_{\beta X}(Z_1\cap Z_2)$ ,
rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z $X$ w ${\mathbb R}$ mają rozłączne domknięcia w $β X$ ,
każde dwa podzbiory $X$ oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w $β X$ ,
każdy punkt w $β X$ jest granicą jedynego $z$ -ultrafiltru na $X$ .

[edytuj] Konstrukcja $β X$

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie $β X$ w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące $β X$ . Niech $C = C * (X)$ będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w odcinek domknięty $[0,1]$ i niech zbiór $[0,1] C$ wszystkich funkcji z $C$ w $[0,1]$ będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka $[0,1]$ . Wyposażmy $[0,1] C$ w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

$e:X \longrightarrow [0, 1]^C: x \mapsto ( f(x) )_{f \in C}$ .

Sprawdza się, że $e$ jest homeomorfizmem z $X$ na $e (X)$ (gdzie $e (X)$ jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni $[0,1] C$ ). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń $[0,1] C$ jest zwarta. Niech $K$ będzie domknięciem $e (X)$ w $[0,1] C$ . Wówczas $(e, K)$ jest uzwarceniem T₂ przestrzeni $X$ .

Dla funkcji ciągłej $f:X\longrightarrow [0,1]$ rozważmy funkcję $f^*:K\longrightarrow [0,1]$ daną przez warunek $f * (k) = k (f)$ . Można łatwo zweryfikować, że $f *$ jest funkcją ciągłą oraz $f * (e (x)) = f (x)$ dla $x\in X$ . Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że $K$ spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

[edytuj] Uzwarcenie $\beta {\mathbb N}$ przestrzeni liczb naturalnych

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie $\beta {\mathbb N}$ przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną. $\beta {\mathbb N}$ jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów ${\mathbb N}$ .

Niech $\beta {\mathbb N}$ będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na ${\mathbb N}$ . Dla zbioru $A\subseteq {\mathbb N}$ połóżmy $U_A=\{F\in \beta {\mathbb N}:A\in F\}$ . Wówczas rodzina $\{U_A:A\subseteq{\mathbb N}\}$ jest bazą pewnej topologii $\tau_{\beta {\mathbb N}}$ na $\beta {\mathbb N}$ . Przestrzeń topologiczna $(\beta {\mathbb N},\tau_{\beta {\mathbb N}})$ jest zwartą przestrzenią T₂ a funkcja $e:{\mathbb N}\longrightarrow\beta {\mathbb N}$ odwzorowująca liczbę $n\in {\mathbb N}$ na ultrafiltr główny generowany przez ${n}$ jest zanurzeniem homeomorficznym którego obraz jest gęsty w $\beta {\mathbb N}$ . Zatem $(\beta {\mathbb N},e)$ jest uzwarceniem przestrzeni ${\mathbb N}$ i można sprawdzić że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone'a.

Przykładowe własności $\beta {\mathbb N}$ :

Przestrzeń $\beta {\mathbb N}$ ma bazę mocy $2^{\aleph_0}$ złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych.
$\beta {\mathbb N}$ jest całkowicie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Nie ma ona puntów izolowanych.
$\beta {\mathbb N}$ jest mocy $2^{2^{\aleph_0}}$ .
Jeśli $p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ , to ${p}$ nie jest zbiorem typu G_δ.
Jeśli CH jest prawdziwa i $p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ , to $(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\}$ nie jest przestrzenią normalną.
Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy $\leq\aleph_1$ jest ciągłym obrazem $\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ .
$\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ zawiera kopię homeomorficzną przestrzeni $\beta {\mathbb N}$ .

[edytuj] Bibliografia

↑ Čech, Eduard, On bicompact spaces. Ann. of Math. (2) 38 (1937), no. 4, 823-844.
↑ Stone, Marshall H., Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), no. 3, 375-481.
↑ Walker, Russell C. The Stone-Čech compactification. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 83. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. x+332 pp, strona 25. ISBN 0-387-06699-3.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../u/z/w/Uzwarcenie_%C4%8Cecha-Stone%27a_3c14.html"

Kategoria: Topologia

Uzwarcenie Čecha-Stone'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Konstrukcja $β X$

[edytuj] Uzwarcenie $\beta {\mathbb N}$ przestrzeni liczb naturalnych

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

Uzwarcenie Čecha-Stone'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Konstrukcja βX

[edytuj] Uzwarcenie przestrzeni liczb naturalnych

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Konstrukcja $β X$

[edytuj] Uzwarcenie $\beta {\mathbb N}$ przestrzeni liczb naturalnych