Przestrzeń zerowymiarowa
Z Wikipedii
Przestrzeń zerowymiarowa – przestrzeń topologiczna (X,τ), która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych. Warunek ten jest równoważny stwierdzeniu, że przestrzeń X ma wymiar ind zero.
Należy zwrócić uwagę, że czasami rozważa się przestrzenie wymiaru 0 względem wymiarów 
lub 
. Wówczas zwykle staramy się podkreślić, że chodzi o inne znaczenie zerowymiarowości niż podane powyżej (mówiąc np. że przestrzeń jest zerowymiarowa w sensie ).
[edytuj] Przykłady
Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami zerowymiarowymi:
- każda przestrzeń dyskretna,
- przestrzeń liczb wymiernych
z topologią podprzestrzeni prostej rzeczywistej, - przestrzeń Cantora
(która jest homeomorficzna z trójkowym zbiorem Cantora), - przestrzeń Baire'a
(jest ona homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych).
[edytuj] Własności
- Każda zerowymiarowa przestrzeń T1 jest całkowicie regularna.
- Jedynymi spójnymi podzbiorami przestrzeni zerowymiarowej są zbiory jednopunktowe i zbiór pusty.
- Podprzestrzeń przestrzeni zerowymiarowej jest zerowymiarowa.
- Jeśli X,Y są przestrzeniami topologicznymi, X jest zerowymiarowa,
jest funkcją ciągłą, która jest także odwzorowaniem otwartym i domkniętym, to f(X) jest przestrzenią zerowymiarową. - Każda zerowymiarowa przestrzeń T1 jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Cantora 2I (dla pewnego zbioru indeksów I).
- Jeśli X jest przestrzenią metryczną z bazą przeliczalną, to następujące warunki są równoważne:
-
-
- X jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie ),
,
.
- X jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie
-
- Każda przestrzeń
, która ma wymiar lub wymiar jest zerowymiarowa (w sensie ).
