Нульмерное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нульмерное пространство в смысле ind ― топологическое пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нём.

[править] Вариации

Иногда нульмерность пространства понимается более узко.

Пространство называется нульмерным в смысле dim, если во всякое его конечное открытое покрытие можно вписать открытое покрытие, элементы которого не пересекаются (то есть имеет нулевую размерность Лебега).
Пространство называется нульмерным в смысле Ind, если любая окрестность любого его замкнутого подмножества содержит открыто-замкнутую окрестность этого подмножества.

[править] Свойства

Каждое дискретное пространство нульмерно, однако нульмерное пространство может не иметь изолированных точек (пример ― пространство рациональных чисел $\mathbb Q$ ).
Все нульмерные пространства вполне регулярны.
Нульмерность пространства наследуется его подпространствами и влечёт сильную несвязность пространства: единственными связными множествами в нульменом пространстве являются одноточечные и пустое. Однако последнее свойство, называемое вполне несвязностью, не равносильно нульмерности. Существуют ненульмерные пространства, в которых каждая точка представима в виде пересечения некоторого семейства открыто-замкнутых множеств, но среди таких пространств нет компактных.
В классе $T 1$ -пространств нульмерность в смысле ind вытекает как из нульмерности в смысле dim, так и из нульмерности в смысле Ind.
В классе метризуемых пространств со счетной базой, а также в классе компактов указанные три определения нульмерности равносильны.
Для всех метризуемых пространств нульмерность в смысле dim равносильна нульмерности в смысле Ind, однако известен пример нульмерного в смысле ind метризуемого пространства, которое не нульмерно в смысле Ind.
Ни нульмерность в смысле dim, ни нульмерность в смысле Ind не наследуется, вообще говоря, подпространствами.
Среди $T 1$ -пространств нульмерные пространства в смысле ind характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства обобщенных канторовых дисконтинуумов, то есть произведений двоеточий.
Любые вполне регулярные пространства можно получить как образы нульмерных пространств при достаточно хороших отображениях, например, при совершенных отображениях и при непрерывных открытых отображениях с компактными прообразами точек.
Однако непрерывные отображения, открытые и замкнутые одновременно, сохраняют нульмерность в смысле ind и в смысле Ind.