Размерность Лебега
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X, обычно обозначается .
Содержание |
[править] Определение
[править] Для метрических пространств
Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие X, имеющее кратность ;
При этом
- -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
- кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.
[править] Для топологических пространств
Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности n + 1.
При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .
[править] Примеры
- Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
- См. также нульмерное пространство.
- Одномерные пространства: окружность, салфетка Серпиньского, коврик Серпиньского, губка Менгера
- См. также кривая Урысона
[править] История
Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n-мерного куба равна n. Л. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Урысон.