Przestrzeń Tichonowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń $T_{3\frac{1}{2}}$ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Spis treści

1 Definicje
2 Dyskusja nazewnictwa
3 Przykłady
4 Własności
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Powiemy że w przestrzeni topologicznej $X$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć funkcję ciągłą $f:X\longrightarrow [0,1]$ taką że

f (x) = 0

f (y) = 1

dla wszystkich punktów $y\in F$ .

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią Tichonowa wtedy i tylko wtedy gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

[edytuj] Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń $T_{3\frac{1}{2}}$ i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
przestrzeń Tichonowa jako przesrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią $T_{3\frac{1}{2}}$ i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

[edytuj] Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne,
przestrzenie normalne,
grupy topologiczne spełniające Aksjomat T₁,
płaszczyzna Niemyckiego.

Ponieważ płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, widzimy ze własność $T_{3\frac{1}{2}}$ nie jest tym samym co własność T₄.

Znane są przykłady przestrzeni T₃ które nie są całkowicie regularne. Na przykład rozważmy podzbiór $M=:\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y\geq 0\}\cup\{(0,-1)\}$ płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze $M$ wprowadzamy topologię $τ$ przez określenie bazy otoczeń ${\mathcal B}(x,y)$ w każdym punkcie $(x,y)\in M$ :

jeśli $y > 0$ , to ${\mathcal B}(x,y)=\{\{(x,y)\}\}$ ,
jeśli $y = 0$ , to ${\mathcal B}(x,y)$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci $\{(x,v)\in {\mathbb R}^2: 0\leq v\leq 2\ \}\cup\{(x+v,v)\in {\mathbb R}^2:0\leq v\leq 2\}\setminus B$ , gdzie $B$ jest zbiorem skończonym,
${\mathcal B}(0,-1)=\{U_i:i=1,2,3,\ldots\}$ , gdzie $U_i=\{(0,-1)\}\cup\{(u,v)\in {\mathbb R}^2:i\leq u\}$ .

Wtedy $(M,τ)$ jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.

[edytuj] Własności

Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T₃.
Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_{3\frac{1}{2}}$ jest przestrzenią $T_{3\frac{1}{2}}$ .
Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źrodeł zainteresowania przestrzeniami $T_{3\frac{1}{2}}$ , jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

[edytuj] Bibliografia

↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 120.
↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 39. ISBN 3-88538-006-4