Przestrzeń zwarta
Z Wikipedii
Przestrzeń zwarta – przestrzeń Hausdorffa X spełniająca warunek:
- z dowolnego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie).
Spis treści |
[edytuj] Idea
Idea zwartości wyłoniła się w drodze rozważań topologicznych - matematycy zauważyli, że przestrzenie spełniające warunek zwartości dobrze się zachowują. Oto najważniejsze przykładych takich dobrych zachowań:
- funkcja ograniczona, określona na przestrzeni zwartej, przyjmuje swoje kresy;
- funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła;
- każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna;
Mówiąc ogólniej (i zapewne mniej przejrzyście): w przestrzeni zwartej niektóre własności spełniane lokalnie, są automatycznie spełnione globalnie. Mówiąc niektóre mamy na myśli dokładnie te własności P, które spełniają warunek: dla każdych zbiorów otwartych V,U, jeżeli V,U mają własność P, to również ich suma ma tą własność.
[edytuj] Własności
Własność zwartości przestrzeni jest jednym z niezmienników topologicznych, tzn. jeśli przestrzeń zwartą przekształcimy za pomocą odwzorowania ciągłego, to otrzymana przestrzeń również będzie zwarta.
Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych. Nie jest to jednak pojęcie, z którym w ogólności można wiązać uchwytne intuicje lub analogie.
[edytuj] Przestrzenie metryczne
Zwartość można opisywać na wiele równoważnych sposobów. W przestrzeni euklidesowej zwartość można zdefiniować w następująący sposób:
- zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Ogólniej, w przestrzeniach metrycznych szczególnie często korzysta się z następującej własności:
[edytuj] Przykłady
Stosując powyższą definicję od razu można podać przykłady przestrzeni zwartych i przestrzeni, które zwarte nie są:
- zwarty jest odcinek ,
- odcinek nie jest już zwarty (z powodu braku domkniętości),
- zwarta nie jest również cała prosta liczbowa .