コンパクト空間

数学において集合がコンパクト (compact) であるとは、位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことである。

数直線上の閉区間や単位円の周および内部からなる閉円板など、ユークリッド空間内の有界閉集合はこの性質を満たす（ハイネ・ボレルの被覆定理）。すなわち、これらはコンパクトな位相空間の例である。

ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト (quasi-compact) と呼び、ハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間を扱っている場合など多くの場合には、ハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。

[編集] 定義

$\mathcal{O}$ をその開集合系とする位相空間（特に距離空間） $(X,\mathcal{O})$ の部分集合 A に対して、

$A \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \quad(O_\lambda \in \mathcal{O})$

となるならば、かならず有限個の λ₁, λ₂, ...,λ_n ∈ Λ を選んで

$A \subset \bigcup_{k=1}^{n} O_{\lambda_k} \quad(O_{\lambda_k} \in \mathcal{O})$

とすることができるとき、A は X のコンパクト集合であるという。位相空間 X 自体がコンパクトであるとき、X のことをコンパクト空間という。位相空間のコンパクト集合に相対位相を入れたものは、それ自身がコンパクト空間である。

点列コンパクト：空間内の任意の点列は収束する部分列を持つ。
- コンパクトという言葉には、「中身がぎっしりつまった」という意味もあるが、それがもっともらしく見える定義である。
- n 次元ユークリッド空間において、次の三つの条件は同値である。
  1. 部分集合 A がコンパクトである。
  2. A は点列コンパクトである。
  3. A は有界な閉集合である。
- 条件無しでは、コンパクトから点列コンパクトは導かれない。同様に点列コンパクトからコンパクトは導かれない。