Przestrzeń Hausdorffa
Z Wikipedii
Przestrzeń Hausdorffa to termin w topologii odnoszący się do jednego z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie Hausdorffa są też nazywane przestrzeniami T2.
Przestrzenie Hausdorffa zostały wprowadzone do matematyki i systematycznie badane przez matematyka niemieckiego Felixa Hausdorffa. W pierwszych definicjach przestrzeni topologicznej własność opisana przez bycie T2 była jedną z postulowanych własności topologii.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Mówimy że przestrzeń topologiczna X jest T2 jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieją rozłączne zbiory otwarte i takie że i .
Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że punkty x,y są rozdzielone przez ich otoczenia otwarte U,V.
[edytuj] Przykłady
- Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest T2. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
- Każda przestrzeń T3 jest przestrzenią Hausdorffa.
- Istnieją przestrzenie T2 które nie są T3. Rozważmy na przykład zbior X = [0,1] z topologią τ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na [0,1] o zbiór . Wtedy (X,τ) jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.
- Każda przestrzeń T2 jest przestrzenią T1, ale istnieją przestrzenie T1 które nie są T2. Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. , ) jest T1-, ale nie T2-przestrzenią; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
[edytuj] Własności
- Przestrzeń X jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna jest zbiorem domkniętym w przestrzeni .
- Załóżmy że Y jest przestrzenią Hausdorffa, X jest dowolną przestrzenią topologiczną i są funkcjami ciągłymi. Wtedy zbiór jest domkięty w X. W szczególności, jeśli f,g zgadzają się na gęstym podziorze X to są one równe.
- Ciągi w przestrzeni Hausdorffa, jeśli są zbieżne to mają jedyną granicę.
- Zwarte podzbiory przestrzeni Hausdorffa są zawsze domknięte. Znane są przykłady przestrzeni T1 które nie mają tej wlasności.
- Podzbiór przestrzeni T2 traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T2. Własność być przestrzenią T2 jest więc własnością dziedziczną.
- Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T2 jest przestrzenią T2.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Bibliografia
1 Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strony 37-38. ISBN 3-88538-006-4
2 Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strony 50-51.