Granica ciągu

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Granica ciągu liczbowego to liczba, do której wyrazy tego ciągu zbliżają się nieograniczenie. Mówiąc inaczej, począwszy od pewnego wyrazu wszystkie następne wyrazy ciągu leżą tak blisko granicy, jak tylko chcemy.

Ściślej: niech a_n oznacza n-ty wyraz ciągu (a_n) i niech ε oznacza dowolnie obraną liczbę dodatnią. Jeśli przy każdym wyborze ε uda się tak dobrać liczbę naturalną N, że dla wszystkich n większych od N wartości a_n będą się różnić od pewnej liczby g o nie więcej niż ε, to tę liczbę g nazwiemy granicą ciągu (a_n).

$\forall_{\varepsilon \in \mathbb R,\varepsilon > 0} \exists_{N \in \mathbb N} \forall_{n > N} \mid a_n - g\mid < \varepsilon$

Powyższa definicja przenosi się niemal bez zmian na ciągi w dowolnych przestrzeniach metrycznych – wystarczy termin "różnić się" zastąpić terminem "leżeć nie dalej niż".

Zatem: punkt p przestrzeni metrycznej jest granicą ciągu p_n punktów tej przestrzeni, jeżeli dla dowolnie wybranej liczby dodatniej ε znajdzie się taką liczbę naturalną N, że dla wszystkich n większych od N, odległości między p_n i p będą mniejsze od ε

Granicę ciągu oznaczamy symbolem:

$\lim_{n \to \infty}~a_{n}=g$

Ciąg, który ma granicę nazywamy ciągiem zbieżnym. W przeciwnym wypadku nazywamy go rozbieżnym.

Ciągi zbieżny jest wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi nierówność: |g|<1

Ciągi rozbieżne mogą mieć tzw. granicę niewłaściwą, którą jest nieskończoność. Oznacza, to, że

ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności

a_n → ∞ gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczna naturalna n₀, że dla n>n₀ zachodzi nierówność a_n>M

ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności

a_n → -∞ gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczna naturalna n₀, że dla n>n₀ zachodzi nierówność a_n<M

Aby ciąg miał granicę niewłaściwą, musi być nieograniczony.

Istnieją ciągi nie posiadające granicy właściwej ani niewłaściwej. Mogą być ograniczone (np. ciąg a_n = (-1)ⁿ) lub nie (np. a_n = n(-1)ⁿ)

Przykłady:

Granicą ciągu 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6... jest 0 — dla dowolnej liczby ε nietrudno wskazać taką liczbę N, że wszystkie odwrotności liczb większych od N będą się różnić od 0 o mniej niż ε. Gdy ε=0,0001 wystaczy wziąć N=10000 — wyrazy o numerach 10001(=1/10001), 10002(=1/10002) i tak dalej różnią się od 0 o mniej niż 0,0001.
Granicą ciągu 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7... jest 1 — dla dowolnej liczby ε nietrudno wskazać taką liczbę N, że wszystkie liczby postaci ( (n-1)/n ) dla n większych od N będą mniejsze od ε. Gdy ε=0,001 wystaczy wziąć N=1000 — wyrazy o numerach 1001(=1000/1001), 1002(=1001/1002) i tak dalej różnią się od 1 o mniej niż 0,001.

Dowodzi się, że każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.

[edytuj] Właściwości

Jeśli $\lim_{n \to \infty}~a_{n}=a$ i $\lim_{n \to \infty}~b_{n}=b$ oraz oba ciągi są ciągami zbieżnymi to wykonalne są poniższe działania:

$\lim_{n \to \infty}~(a_n + b_n)=a+b$ granica sumy jest równa sumie granic
$\lim_{n \to \infty}~(a_n - b_n)=a-b$ granica różnicy jest równa różnicy granic
$\lim_{n \to \infty}~(a_n \cdot b_n)=a \cdot b$ granica iloczynu jest równa iloczynowi granic
$\lim_{n \to \infty}~\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$ (gdzie $b \not= 0$ i $b_n \not= 0$ ) granica ilorazu jest równa ilorazowi granic