Kres górny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Kres górny zbioru (supremum zbioru) to pojęcie w matematyce określające najmniejsze z ograniczeń górnych tego zbioru (o ile takie istnieje).

Spis treści

1 Kres górny zbioru liczbowego
2 Kres górny w porządkach częściowych
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i przykłady
3 Zobacz też

[edytuj] Kres górny zbioru liczbowego

Najczęściej termin kres górny jest używany w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

[edytuj] Definicja

Przypuśćmy, że zbiór $A\subseteq {\mathbb R}$ jest niepusty. Powiemy że liczba rzeczywista $s\in {\mathbb R}$ jest kresem górnym zbioru $A$ jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

$s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ , tzn $s\geq a$ dla wszystkich elementów $a$ zbioru $A$ ,
$s$ jest najmniejszym takim ograniczeniem, tzn jeśli $s'\in {\mathbb R}$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ , to $s\leq s'$ .

Jeśli $s$ jest kresem górnym zbioru $A$ to piszemy $s=\sup(A)$ . Oznaczenie $\sup(A)=\infty$ jest czasami używane do stwierdzenia że zbiór $A$ jest nieograniczony z góry.

[edytuj] Własności

Jedną z najważniejszych własności zbioru liczb rzeczywistych jest jego zupełność: każdy ograniczony z góry niepusty podzbiór ${\mathbb R}$ ma kres górny (i jest on jedyny).
Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym.
Przypuśćmy że $A\subseteq {\mathbb R}$ jest zbiorem niepustym, $s\in {\mathbb R}$ . Wówczas

$s=\sup(A)$ wtedy i tylko wtedy gdy $(\forall a\in A) (a\le s)$ oraz $(\forall \epsilon>0)(\exists a\in A)( a>s-\epsilon).$

[edytuj] Przykłady

Jeśli $A = (0,3]$ , to $\sup(A)=3$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.
Niech $B = (0,3)$ . Wówczas $\sup(B)=3$ . Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, jego kresem górnym jest 3, bowiem żadna liczba mniejsza od 3 nie jest większa od WSZYSTKICH liczb zbioru B.
Niech $C = {0,1,4}$ . Wówczas $\sup(C)=4$ na tej samej zasadzie, co w przykładzie 1.
Połóżmy $D=\{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \ldots\}$ . Wówczas $\sup(D)=1$ , bo każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od WSZYSTKICH liczb zbioru D.

[edytuj] Kres górny w porządkach częściowych

Pojęcie kresu górnego jest zdefiniowane przy użyciu porządku (tylko) i może być ono wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ . Powiemy że element $s$ jest kresem górnym zbioru $A$ (w $X$ ) jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

$s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ , tzn $(\forall a\in A)(a\sqsubseteq s)$ ,
$s$ jest najmniejszym takim ograniczeniem, tzn jeśli $s'\in X$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ , to $s\sqsubseteq s'$ .

Każdy element zbioru X jest ograniczeniem górnym zbioru pustego. Więc: kres górny zbioru pustego musi być najmniejszym elementem zbioru X.

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to mówimy że porządek $(X,\sqsubseteq)$ jest zupełny.

[edytuj] Własności i przykłady

Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}$ , to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym $A$ . (Oczywiście ten sam zbiór ma kres górny w liczbach rzeczywistych.)
Jeśli podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego ma kres górny, to ten kres jest jedyny. Dlatego też piszemy $s=\sup(A)$ na wyrażenie faktu że " $s$ jest kresem górnym zbioru $A$ ".
Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,\leq)$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $\leq \upharpoonright X$ zgadza się z $\sqsubseteq$ , oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$ . Porządek $(Y,\leq)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a i niech $\leq$ będzie porządkiem booleowskim na ${\mathbb B}$ (tzn dla $a\leq b$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\cdot b=a$ ). Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$ . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek booleowski $\leq$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.