Uzwarcenie przestrzeni

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Uzwarcenie przestrzeni topologicznej, zwane także kompaktyfikacją przestrzeni lub też przedłużeniem zwartym przestrzeni to pojęcie w topologii określające przestrzeń zwartą zbudowaną "wokół" danej przestrzeni topologicznej.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Uzwarceniem przestrzeni $X$ nazywamy parę $(Y, e)$ taką, że $Y$ jest zwartą przestrzenią topologiczną, $e:X\longrightarrow Y$ jest zanurzeniem homeomorficznym oraz $e (X)$ jest gęstym podzbiorem $Y$ . Jeśli dodatkowo $Y$ jest przestrzenią T₂, to uzwarcenie $(Y, e)$ jest nazywane uzwarceniem Hausdorffa (albo uzwarceniem T₂).

Zwykle pomija się zanurzenie $e$ , szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń $Y$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$ . Często też utożsamiamy punkty $x\in X$ z ich obrazami $e(x)\in Y$ i traktujemy $X$ jako podprzestrzeń przestrzeni $Y$ .

Warto zauważyć, że jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni T₂ jest ta przestrzeń.

[edytuj] Uzwarcenie jednopunktowe

Niech $(X,τ X)$ będzie niezwartą przestrzenią topologiczną i niech $\infty$ będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru $X$ . Połóżmy $Y=X\cup\{\infty\}$ i

$\tau_Y=\tau_X\cup\big\{U\cup\{\infty\}:U\in \tau_X$ i $X\setminus U$ jest zwartym podzbiorem $X\big\}.$

Wówczas $(Y,τ Y)$ jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe ${\rm id}_X:X\longrightarrow X\subseteq Y$ jest zanurzeniem homeomorficznym i $X$ jest gęstym podzbiorem. Tak więc $(Y,id X)$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$ . Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T₂. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej $X$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń $X$ jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia $X$ , jako że wtedy $X$ nie będzie gęstym podzbiorem $Y$ . Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksndrowa i Urysohna^[1] w 1929.

[edytuj] Uzwarcenia Hausdorffa

Każda zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ "bycie przestrzenią Tichonowa" jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń $X$ musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń $T_{3\frac{1}{2}}$ może być zanurzona w produkt $[0,1] I$ pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń $[0,1] I$ jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną.

[edytuj] Uzwarcenia Čecha-Stone'a

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej $X$ , jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter - jest to uzwarcenie Čecha-Stone'a $β X$ . Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone'a w latach 30-stych XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

Twierdzenie Stone'a: Każda całkowicie regularna przestrzeń $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa $β X$ takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni $X$ w zwartą przestrzeń T₂ może być przedłużone na $β X$ .
Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa $β X$ takie, że każde dwa podzbiory $X$ oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie $β X$ jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na $X$ ). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni $X$ jest ciągłym obrazem przestrzeni $β X$ przez odwzorowanie które jest identycznością na $X$ .

[edytuj] Bibliografia

↑ Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929)