Zbiór otwarto-domknięty
Z Wikipedii
W topologii, zbiór otwarto-domknięty w przestrzeni topologicznej to zbiór, który jest jednocześnie otwarty i domknięty.
[edytuj] Przykłady
- W każdej przestrzeni topologicznej X, zbiór pusty oraz cała przestrzeń X są zbiorami otwarto-domkniętymi.
- Niech przestrzeń
![X=[0,1]\cup [2,3]](../../../math/f/c/e/fce7740c6689efac78fc1904570c0d5f.png)
będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni prostej rzeczywistej 
. Wówczas przestrzeń X ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: ![\emptyset,X,[0,1],[2,3]](../../../math/6/c/5/6c5b326ae0f367392753690e1ba1193f.png)
. - Rozważmy zbiór
liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni przestrzeni . Wówczas zbiór 
jest otwarto-domkniętym podzbiorem . Ogólniej, jeśli 
jest przedziałem o różnych końcach niewymiernych, to 
jest otwarto-domkniętym podzbiorem (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ). - Jeśli
jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to 
jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych 
(ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ).
[edytuj] Własności
- Przestrzeń topologiczna X jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są zbiór pusty oraz cała przestrzeń X.
- Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
- Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
- Rodzina CLOPEN(X) wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni X tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. Tak więc
jest algebrą Boole'a. - Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.
