Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a jest jednym z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole'a, dziedzinie matematyki z pogranicza teorii mnogości i topologii. Stanowi ono połączenie pomiędzy algebrami Boole'a a przestrzeniami topologicznymi.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Uwagi o dowodzie
- 2.1 Definicje
- 2.2 Obserwacje
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

W 1936 amerykański matematyk Marshall Harvey Stone udowodnił^[1] że

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Co więcej, to ciało zbiorów jest ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Dowód twierdzenia wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.

[edytuj] Uwagi o dowodzie

Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1})$ będzie algebrą Boole'a.

[edytuj] Definicje

Powiemy, że zbiór $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ jest filtrem na algebrze ${\mathbb B}$ gdy następujące warunki są spełnione:

(a) ${\bold 1}\in F$ ,

(b) jeśli $a\in F$ oraz $a\leq b\in {\mathbb B}$ (czyli $a\cdot (\sim b)={\bold 0}$ ), to też $b\in F$ ,

Filtr $F$ na algebrze ${\mathbb B}$ jest filtrem maksymalnym jeśli jedynym filtrem zawierającym $F$ jest filtr $F$ . (Czyli filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru.) Filtry maksymalne na algebrze ${\mathbb B}$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze ${\mathbb B}$ jest oznaczany przez ${\rm Ult}({\mathbb B})$ .
Dla $a\in {\mathbb B}$ definiujemy $e(a)=\{p\in {\rm Ult}({\mathbb B}): a\in p\}\subseteq {\rm Ult}({\mathbb B})$ .

[edytuj] Obserwacje

Niech $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i)

F

jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu $a\in {\mathbb B}$ , albo $a\in F$ lub $\sim a\in F$ ,

(iii) dla każdych $a,b\in {\mathbb B}$ , jeśli $a+b\in F$ , to $a\in F$ lub $b\in F$ .

Każdy filtr $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze. (To stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.)
Dla dowolnych $a,b\in {\mathbb B}$ mamy, że

$e(a+b)=e(a)\cup e(b)$ , $e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)$ oraz $e(\sim a)= {\rm Ult}({\mathbb B})\setminus e(a)$ .

Rodzina $\{e(a): a\in {\mathbb B}\}$ jest bazą pewnej topologii $τ St$ na ${\rm Ult}({\mathbb B})$ . Przestrzeń topologiczna $( {\rm Ult}({\mathbb B}),\tau_{\rm St})$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone'a algebry ${\mathbb B}$ .)
Odwzorowanie $e$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą ${\mathbb B}$ a ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone'a.