Aksjomat wyboru
Z Wikipedii
Aksjomat wyboru (oznaczany AC) to jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:
- dla każdej rodziny u niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór v, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny u (zbiór taki nazywany jest selektorem).
Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest:
- iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.
Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.
[edytuj] Kontrowersje związane z aksjomatem wyboru
Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład, Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Mówi ono, że w przestrzeni euklidesowej R3 można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.
Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru. Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt. Dowody twierdzeń, w których używa się aksjomatu wyboru nazywa się dowodami nieefektywnymi.
Można również rozważać modele teorii mnogości, w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru.
