Lemat Kuratowskiego-Zorna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Lemat Kuratowskiego-Zorna – jedno z podstawowych narzędzi dowodzenia twierdzeń, które stwierdzają istnienie pewnych obiektów w teorii mnogości i innych działach matematyki. W krajach anglosaskich bardziej znany jako Lemat Zorna. Oto jedno ze sformułowań lematu:

Każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch (tzn. podzbiór liniowo uporządkowany) ma ograniczenie górne, zawiera co najmniej jeden element maksymalny.

Definicje pojęć: Załóżmy, że (P, ≤) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Podzbiór T jest liniowo uporządkowany, jeśli dla każdych s, t ∈T zachodzi s ≤ t lub t ≤ s. Taki zbiór T ma górne ograniczenie u ∈ P, jeśli t ≤ u dla każdego t ∈ T. Element maksymalny zbioru P to takie m, że jedynym elementem x ∈ P, dla którego m ≤ x jest właśnie x = m.

Lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny aksjomatowi wyboru, w takim sensie, że każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego i z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela z teorii mnogości. Jest to prawdopodobnie najbardziej użyteczny równoważnik aksjomatu wyboru i występuje w dowodach kilku twierdzeń o podstawowym znaczeniu.

Przykłady:

twierdzenie Hahna-Banacha w analizie funkcjonalnej.
twierdzenie mówiące o tym, że każda przestrzeń liniowa ma bazę.
twierdzenie Tichonowa w topologii mówiące, że każdy iloczyn przestrzeni zwartych jest zwarty
twierdzenia algebry uniwersalnej, że każdy pierścień ma ideał maksymalny, a każde ciało ma domknięcie algebraiczne.

Spis treści

1 Przykład zastosowania
2 Szkic dowodu lematu Kuratowskiego-Zorna
- 2.1 Historia
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Przykład zastosowania

Przyjrzyjmy się typowemu zastosowaniu lematu, jakim jest dowód tego, że każdy pierścień R zawiera ideał maksymalny. Nasz zbiór P składa się ze wszystkich (dwustronnych) ideałów R, z wyjątkiem samego R. Zbiór P jest częściowo uporządkowany relacją zawierania podzbiorów. Nasz dowód będzie polegał na znalezieniu maksymalnego elementu z P. Ideał R został wykluczony, ponieważ ideały maksymalne z definicji nie są równe R.

Chcemy użyć lematu Kuratowskiego-Zorna, więc bierzemy T - liniowo uporządkowany podzbiór P i musimy pokazać, że T ma ograniczenie górne, czyli, że istnieje ideał I w R, który jest większy niż wszystkie elementy T, ale mniejszy niż R (inaczej nie byłby w P). Niech I będzie sumą wszystkich ideałów z T. I jest ideałem: jeśli a i b są elementami I, to istnieją dwa ideały J i K w T takie, że a ∈ J and b ∈ K. Ponieważ T jest uporządkowane liniowo to wiemy, że J jest podzbiorem K lub odwrotnie. W pierwszym przypadku, zarówno a jak b są elementami ideału K, stąd ich suma a + b jest elementem K co pokazuje, że a + b jest elementem I. W drugim przypadku, i a i b są elementami ideału J. Podobnie dochodzimy do wniosku, że a + b jest zawarte w I. Co więcej, jeśli r jest elementem R, wtedy ar i ra są elementami J, a więc również elementami I. Pokazaliśmy, że I jest ideałem w R.

A oto istota dowodu: dlaczego I jest mniejsze niż R? Decydujące jest to, że ideał jest równy R wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera 1. (Jest jasne, że jeśli jest równe R, to musi zawierać 1, z drugiej strony, jeśli zawiera 1 i r jest dowolnym elementem R, to r1 = r jest elementem ideału, a więc ideał jest równy R). Więc jeśli I byłoby równe R, to zawierałoby 1, a to oznacza, że jeden z elementów zbioru T zawierałby 1 co czyniłoby go równym R - ale jawnie wykluczyliśmy R z P.

Sprawdzone zostało założenie lematu, a w wyniku otrzymaliśmy maksymalny element w P, innymi słowy maksymalny ideał w R.

Zauważmy, że dowód opiera się na fakcie, że nasz pierścień R posiada jedynkę. Bez tego nie moglibyśmy przeprowadzić dowodu, i tak naprawdę zdanie, którego dowodziliśmy byłoby fałszywe.

[edytuj] Szkic dowodu lematu Kuratowskiego-Zorna

Przypuśćmy, że lemat jest fałszywy. Wtedy istnieje częściowo uporządkowany zbiór (inaczej poset) P, taki że każdy liniowo uporządkowany podzbiór ma ograniczenie górne a dla każdego elementu istnieje element większy. Dla każdego liniowo uporządkowanego podzbioru T możemy zdefiniować element większy b(T), ponieważ T ma ograniczenie górne, a to ograniczenie ma element większy. Aby w pełni zdefiniować funkcję b, trzeba zastosować aksjomat wyboru.

Używając funkcji b, zdefiniujemy elementy a₀ < a₁ < a₂ < a₃ < ... w P. Ten ciąg jest bardzo długi, indeksy nie są liczbami naturalnymi, lecz wszystkimi liczbami porządkowymi. Ciąg ten jest zbyt długi dla zbioru P, liczb porządkowych jest więcej niż elementów w dowolnym zbiorze, więc zbiór P szybko zostanie wyczerpany i osiągniemy potrzebną nam sprzeczność. Elementy a_i są definiowane przez indukcję pozaskończoną: wybieramy dowolne a₀ z P (jest to możliwe, bo P zawiera ograniczenie górne dla zbioru pustego i dlatego nie jest pusty) i dla każdej liczby porządkowej w przyporządkowujemy a_w == b({a_v: v < w}). Ponieważ a_v są uporządkowane liniowo, więc jest to możliwe.

Ten dowód pokazuje, że prawdziwa jest nawet nieco silniejsza wersja lematu: Jeśli P jest zbiorem częściowo uporządkowanym, w którym każdy dobrze uporządkowany podzbiór ma ograniczenie górne, i jeśli x jest dowolnym elementem P, to P ma element maksymalny, który jest większy lub równy x. To znaczy istnieje element maksymalny porównywalny z x.