Zbiór Cantora

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Klasyczny zbiór Cantora
- 1.1 Wymiar fraktalny
2 Podstawowe właściwości
3 Zbiór Cantora w szerszym sensie
4 Zobacz też

[edytuj] Klasyczny zbiór Cantora

Kolejne kroki konstrukcji zbioru Cantora

Klasyczny zbiór Cantora to podzbiór przedziału domkniętego $C 0 : = [0,1]$ liczb rzeczywistych $C_0 \subset R$ , skonstruowany w następujący sposób (definicja indukcyjna): w pierwszej iteracji przedział [0,1] dzielimy na trzy równe części i wyrzucamy część środkową (otwartą). Pozostaje zbiór

$C_1 := \left [0, \frac{1}{3}\right ] \cup \left [\frac{2}{3}, 1\right ]$

W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory $2 n$ odcinkach o długości $1 / 3 n$ .

Trójkowym zbiorem Cantora nazywa się część wspólną ciągu wszystkich tych przybliżeń:

$C:=\bigcap^{\infty}_{n=1}C_n$ .

Można też zdefiniować go jako zbiór takich liczb z przedziału [0,1], dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

[edytuj] Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi ln 2/ln 3 = 0.630929754...

[edytuj] Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora:

jest przestrzenią zwartą, w sobie gęstą i na [0,1] nigdziegęstą.
ma bazę ze zbiorów $P_1, P_2, \dots$ domknięto otwartych i takich, że $\lim\delta(P_n) = 0$ .
jest nieprzeliczalny.

[edytuj] Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryczna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryczna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Zbiór Cantora jest ważny również w teorii miary - klasyczny zbiór Cantora jest mianowicie najprostszym przykładem zbioru mocy continuum o mierze Lebesgue'a równej zeru. Nie wszystkie zbiory Cantora mają jednak tę własność - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary.