Cantorverzameling

De Cantorverzameling is een deelverzameling van de reële getallen die volgens de maattheorie de maat 0 heeft, maar toch dezelfde cardinaliteit heeft als de reële getallen. De Cantorverzameling is ook een zeer simpele fractaal.
De Cantorverzameling is genoemd naar de Duitse wiskundige Georg Cantor.

[bewerk] Definitie

Bij de Cantorverzameling gaan we hier uit van de standaard 'middelste-derde Cantorverzameling', die geconstrueerd wordt door telkens het middelste derde deel van een interval uit te snijden. Een Cantorverzameling is ook een algemener verzameling-theoretisch begrip.

Er zijn meerdere karakteriseringen mogelijk, die allen equivalent zijn:

De eerste is een intuïtieve, constructieve. Neem het interval $[0,1]$ , en knip daar het middelste derde $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ uit weg. Je krijgt dan $[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1]$ . Uit deze twee intervallen kunnen we ook het middenste wegknippen. Als we dat nu oneindig veel keer doen, dan vinden we als limiet de Cantorverzameling.

Een tweede karakterisering is als volgt. Een element behoort tot de Cantorverzameling als het $[0,1]$ zit en het een schrijfwijze heeft in het 3-tallig stelsel zonder 1'en erin. Zo zit bijvoorbeeld $\frac{1}{3}$ in de Cantorverzameling want $\frac{1}{3}$ kunnen we schrijven als $0.0222\ldots$ .

Een derde karakterisering is meer formeel. De Cantorverzameling is de attractor van het IFS (iterated function system) dat bestaat uit de afbeeldingen f,g die als volgt gedefinieerd zijn:

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to \frac{x}{3}$

$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Dit IFS beschrijft mooi de zelfsimilariteit van de Cantorverzameling.

[bewerk] Eigenschappen

De Cantorverzameling heeft een totale lengte gelijk aan 0. Telkens we bij de constructie van de Cantorverzameling het middelste weghalen uit elk interval, verkleinen we de totale lengte met een factor twee derde. Meer formeel zegt men dat de Cantorverzameling Lebesgue-maat 0 heeft.
De Cantorverzameling heeft dezelfde cardinaliteit als het interval [0,1] en dus als de verzameling van de reële getallen.
De Cantorverzameling is gesloten, de grootste samenhangende deelverzameling is een punt, en voor ieder element in de Cantorverzameling is er willekeurig dichtbij nog een element in de verzameling. Op deze eigenschap is de definitie voor een algemene Cantorverzameling gebaseerd.

Categorie: Verzamelingenleer

Cantorverzameling

[bewerk] Definitie

[bewerk] Eigenschappen

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen