Compattificazione di Stone-Čech
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La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico X è uno spazio topologico compatto (indicato con βX) che estende lo spazio di partenza X, in cui è inoltre possibile estendere tutte le funzioni continue e limitate in X.
Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.
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[modifica] Definizione
La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico X è uno spazio βX contenente X con queste proprietà:
- βX è compatto;
- X è denso in βX;
- per ogni funzione continua
L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che X è C*-immerso in βX.
[modifica] Principali proprietà
La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio, mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola, come indicano le seguenti proprietà:
- è unica a meno di omeomorfismi;
- è l'unico spazio compatto in cui X è
-immerso; - è il più grande spazio in cui X è -immerso.
[modifica] Una possibile formulazione della compattizzazione di Stone-Cech
Quella che segue è una tra delle formulazioni equivalenti della compattificazione di Stone-Cech: dato uno spazio topologico X, la compattificazione di Stone-Cech βX è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di βX possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto A:
, dove 
sono gli aperti della topologia di X.
