Ultrafiltro
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In teoria degli insiemi un ultrafiltro è un filtro proprio sull'insieme A che gode della seguente proprietà:
- Ogni sottoinsieme di A o il suo complemento è contenuto in , in formule
Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.
Teorema
- Ogni filtro principale è un ultrafiltro.
Sia x un elemento di A, e il filtro principale generato da x. Allora, per ogni sottoinsieme S di A, se , allora . Se invece , per la definizione di insieme complemento, e quindi .
In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.
Teorema
- Il filtro cofinito, cioè l'insieme dei sottoinsiemi cofiniti di A, non è un ultrafiltro.
Sia S un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di A tranne un numero finito. Se A è finito, non è un filtro proprio: infatti l'insieme A-{x} ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in , ma contiene e dunque non è un filtro proprio. Se invece A è infinito, tale che sia X che sono infiniti, e dunque nè l'uno nè l'altro sono in .
Indice |
[modifica] Ultrafiltro limite
[modifica] Riferimenti
- Lipparini, P., Limit ultrapowers and abstract logics, The Journal of Symbolic Logic, 1987, Vol. 52, n. 2, pp. 437-454.
[modifica] Ultrafiltro libero
Un ultrafiltro su di un insieme A si definisce libero quando contiene il filtro cofinito FA.
Teorema
- È impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero