Ultrafilter

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Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Filter, der sich nicht weiter verfeinern lässt. Man kann die Ultrafilter grob in zwei Arten unterteilen: als erstes seien die Elementarfilter genannt. Dies sind Filter, die durch eine Einpunktmenge erzeugt werden. Sie sind Ultrafilter, und es sind die einzigen Ultrafilter, die man explizit konstruieren kann. Die zweite Art der Ultrafilter sind die freien Ultrafilter. Sie lassen sich nur mit Hilfe des Auswahlaxioms konstruieren.

[Bearbeiten] Definitionen

Die folgenden Aussagen über einen Filter $\mathcal{F}$ auf einer Menge $X$ sind äquivalent und können zur Definition eines Ultrafilters dienen:

$\mathcal{F}$ ist ein Ultrafilter auf $X$ .
Es existiert kein Filter, der echt feiner als $\mathcal{F}$ ist.
Für jede Teilmenge $A$ von $X$ gilt, dass entweder $A$ selbst oder ihr Komplement $X \setminus A$ Element von $\mathcal{F}$ ist:

$\forall A \subseteq X \colon A \in \mathcal{F} \Longleftrightarrow X \setminus A \ \not\in\ \mathcal{F}$

[Bearbeiten] freier Ultrafilter

Wir sagen, ein Ultrafilter $\mathcal{F}$ heißt freier Ultrafilter, wenn die Schnittmenge aller seiner Elemente die leere Menge ist.

[Bearbeiten] Ultrafilter einer Ordnung

Im Kontext der allgemeineren Definition von Filter als Teilmenge einer halbgeordneten Menge P heißt ein Filter F Ultrafilter, wenn es keinen feineren Filter als F gibt, der nicht schon ganz P ist - formal ausgedrückt: Wenn F' ein Filter auf P ist mit $F \subseteq F'$ , dann gilt F' = F oder F' = P.