אי שוויון ברנולי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באנליזה מתמטית, אי שוויון ברנולי הוא אי שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי . אי השוויון קובע ש- לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . את אי-השוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.
בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.
אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש-. את ההכללה אפשר להוכיח על-ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים.
[עריכה] הוכחה באינדוקציה לאי שיוויון ברנולי
בסיס האינדוקציה: ואכן מתקיים ש: כלומר: .
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור כלשהוא, כלומר נניח ש: , נשים לב לכך שמכוון ש אז: , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי שיוויון של ההנחה ולקבל ש: כלומר:
צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור כלומר צ"ל ש: , כלומר: , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: , הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן ממילא מתקיים ש: .