Bernoullin epäyhtälö
Wikipedia
Matematiikassa Bernoullin epäyhtälö approksimoi reaaliluvun 1 + x potensseja.
Epäyhtälön mukaan
kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 0 ja kaikilla reaaliluvuilla x > −1. Jos eksponentti r on parillinen, on epäyhtälö voimassa kaikilla reaaliluvuilla x. Aito epäyhtälö
on voimassa kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 2 kunhan x ≥ −1, x ≠ 0.
Bernoullin epäyhtälöä käytetään usein toisten epäyhtälöiden todistamiseen. Itse Bernoullin epäyhtälö voidaan todistaa kokonaislukueksponenteille induktion avulla.
Eksponentti r voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos x > −1, on
kaikilla r ≤ 0 tai r ≥ 1 ja
kun 0 ≤ r ≤ 1. Tämän yleistys voidaan todistaa derivaatan avulla. Edelleen tämä epäyhtälö on aito kun x ≠ 0 ja r ≠ 0, 1.
[muokkaa] Vastaavia epäyhtälöitä
Seuraava epäyhtälö arvio luvun 1 + x r:ttä potenssia: kaikilla reaaliluvuilla x, r > 0 on voimassa
missä e = 2,718.... Tämä voidaan todistaa epäyhtälön (1 + 1/k)k < e avulla.
