Derivaatta

Wikipedia

Matematiikassa derivaatta kuvaa funktion muutosnopeutta. Funktion derivaatta jossakin pisteessä on sama kuin sen kuvaajan tangentin (sivuajan) kulmakerroin.

Sisällysluettelo

1 Derivaatan täsmällinen määritelmä
2 Yleisiä derivointisääntöjä
3 Tavallisten funktioiden derivaattoja
4 Todistuksia
5 Sovelluksia
6 Katso myös

[muokkaa] Derivaatan täsmällinen määritelmä

Olkoon $f = f (x)$ reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio. Jos $f$ on määritelty pisteen $x_0 \in \mathbb{R}$ ympäristössä (eli avoimessa joukossa, joka sisältää $x 0$ :n), on sen derivaatta pisteessä $x 0$

$f'(x_0):=\lim_{h\to 0}{f(x_0+h)-f(x_0)\over h}$

tai

$f'(x_0):=\lim_{c\to x_0}{f(c)-f(x_0)\over c-x_0},$

mikäli kyseisen erotusosamäärän raja-arvo on olemassa eli

$\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : |x-x_0|<\delta \Rightarrow \left|{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}-f'(x_0)\right|<\epsilon$ .

Toisin sanoen, kaikille $ε > 0$ löytyy $δ > 0$ siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle epsilonin päässä toisistaan, kun muuttujan arvot ovat alle deltan päässä tarkasteltavasta pisteestä.

Mikäli funktiolla $f$ on derivaatta, eli erotusosamäärän raja-arvo pisteessä $x 0$ , sanotaan että $f$ on derivoituva pisteessä $x 0$ . Jos derivaatta on olemassa kaikissa $f$ :n määrittelyjoukon pisteissä, niin sanotaan, että $f$ on derivoituva. Tällöin funktiota

$x \mapsto \lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

kutsutaan $f$ :n derivaataksi. Derivaattafunktiolle on käytössä useita eri merkintöjä, esimerkiksi $f'$ , $D f (x)$ ja $\frac{df}{dx}$ , jotka ovat pisteessä $x = a$ vastaavasti $f'(a)$ , $(D f (x)) x = a$ ja $\left(\frac{df}{dx}\right)_{x=a}$ .

Jos myös derivaattafunktio on derivoituva, kutsutaan funktiota kahdesti derivoituvaksi, ja vastaavasti toiselle derivaatalle käytetään merkintöjä $f''$ , $D 2 f (x)$ ja $\frac{d^2 f}{dx^2}$ . Yleisemmin, jos (n-1):s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on n kertaa derivoituva, ja sen n:ttä derivaattaa merkitään $f (n)$ , $D n f (x)$ ja $\frac{d^n f}{dx^n}$ .

Jos funktion ( $n$ .) derivaatta on olemassa ja jatkuva, sanotaan että funktio on ( $n$ kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion $n$ . derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on $C n$ -funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, sanotaan, että funktio on $C^{\infty}$ -funktio.

[muokkaa] Yleisiä derivointisääntöjä

Vakion derivaatta

$D c = 0\,$ , kun

c

on vakio.

Vakion siirto

$D c f(x) = c D f(x)\,$

Summan derivaatta

$D (f(x) + g(x)) = D f(x) + D g(x)\,$

Tulon derivaatta

$D (f(x) g(x)) = D (f(x))g(x) + D (g(x))f(x)\,$

Osamäärän derivaatta

$D \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{D (f(x))g(x) - D (g(x))f(x)}{g(x)^2}$ , jos

f (x)

sekä

g (x)

ovat derivoituvia.

Yhdistetyn funktion derivaatta

$D g(f(x)) = g'(f(x)) f'(x)\,$

Käänteisfunktion derivaatta pisteessä

${f^{-1}}'(f(x))= {1 \over f'(x)}\,$ , jossa

f - 1 (x)

f (x)

:n käänteisfunktio

[muokkaa] Tavallisten funktioiden derivaattoja

Potenssin derivaatta

$D x^n = n x^{n-1}\,$ , missä $n \in \mathbb{Z}$ ja $n \ne 0$

Trigonometristen funktioiden ja niiden käänteisfunktioiden derivaattoja

$D \sin x = \cos x\,$

$D \cos x = -\sin x\,$

$D \tan x = {1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

$D \cot x = -{1 \over \sin^2 x} = -1 - \cot^2 x$

$D \arcsin x = {1 \over \sqrt{1-x^2}}$

$D \arccos x = -{1 \over \sqrt{1-x^2}}$

$D \arctan x = {1 \over 1+x^2}$

$D \arccot x = -{1 \over 1+x^2}$

Eksponenttifunktioiden ja logaritmien derivaatat

$D e^x = e^x\,$

$D a^x = a^x \ln a\,$ , missä $a > 0\,$

$D \ln |x| = {1 \over x}$

$D \log_{a} |x| = {1 \over x \ln a}$ , missä $a > 0\,$ ja $a \ne 1$

Hyperbolisten funktioiden ja niiden käänteisfunktioiden derivaattoja

$D \sinh x = \cosh x\,$

$D \cosh x = \sinh x\,$

$D \tanh x = \mbox{sech}^2 x\,$

$D\ \operatorname{arsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

$D\ \operatorname{arcosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

$D\ \operatorname{artanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

[muokkaa] Todistuksia

Todistetaan esimerkin vuoksi potenssin derivaatan kaava. Määritelmän mukaan

$D f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

Potenssifunktiolle saadaan siten

$D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$ .

Edelleen tiedetään, että $(x + h) n$ on muotoa

$a_0x^n + a_1 hx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n\,$ ,

missä $a i$ vastaa kunkin termin binomikerrointa. Tiedetään myös, että ensimmäinen binomikerroin $a 0 = 1$ ja toinen binomikerroin on $a 1 = n$ . Saadaan siis

$\begin{matrix} \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} & = & \lim_{h \to 0} \frac{a_0x^n + a_1 hx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n - x^n}{h} \\ \\ & \ = & \lim_{h \to 0} \frac{x^n + n hx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n - x^n}{h} \| \mbox{:h}\\ \\ & \ = & nx^{n-1} \\ \\ \end{matrix}$

Huomaa, että tämä todistus olettaa että n on luonnollinen luku, koska esitettyyn polynomimuotoon päästään vain siinä tapauksessa. Kaava on voimassa myös negatiivisilla luvuilla ja eksponenteilla, jotka eivät ole kokonaislukuja, mutta näille vaaditaan erillinen todistus.
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion $\sum_{k=0}^n a_kx^k$ derivaatta.

[muokkaa] Sovelluksia

Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys $g$ , kun mitataan putoavan pallon tippuma matka $s$ ajan $t$ funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista

$s = s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}, \,$

ja nopeus $v$ on matkan derivaatta ajan suhteen

$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}\right) = \frac{1}{2}g\ 2 t = gt,$

mistä edelleen kiihtyvyys $g$ on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:

$\frac{d^{2}s}{d t} = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{dt}\left(gt\right) = g.\$

Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan kiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä $\frac{dx}{dt} = \dot x$ ja $\frac{d^{2}x}{dt} = \ddot x$ .