Inégalité de Bernoulli
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[modifier] Définition
L'inégalité de Bernoulli stipule que :
- (1+x)n > 1 + nx
pour tout entier naturel n ≥ 2, et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à -1.
[modifier] Démonstration
Soit 
tel que 
. Soit 
tel que 
On cherche à montrer que 
On va définir la fonction f définie sur 
par :
On va montrer que la fonction f > 0 sur l'intervalle ![\left]-1,0\right[ \cup \left]0,+\infty\right[](../../../math/1/7/4/17421374e6b165c0510ea5693783cfb2.png)
La dérivée de la fonction sur le domaine considéré est :
On étudie maintenant le signe de la dérivée :
pour ![x\in\left]-1,0\right[](../../../math/e/b/7/eb71e9dee8ecac79d91300e7124e7c0d.png)
et 
pour ![x\in\left]0,+\infty\right[](../../../math/2/7/e/27e41f46d4e3846de0023b3ccf0dfb74.png)
La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle ![\left]-1,0\right[](../../../math/5/4/2/542740701bf2fd7e005d87d1c3ced23f.png)
et strictement croissante sur l'intervalle ![\left]0,+\infty\right[](../../../math/8/4/9/849adfa8f96fc02611bef3e82063e980.png)
.
Pour x = 0 on a 
On a donc bien f > 0 sur l'intervalle .
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