伯努利不等式
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；
如果
是偶數，則不等式對任意實數x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0時等號成立，而對任意正整數
和任意實數
，
，有嚴格不等式：
。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
[编辑] 證明和推廣
伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n = 0,1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數時成立，那麼
。
下面是推廣到實數冪的版本：如果x > − 1，那麼：
- 若
或
，有
；
- 若
，有
。
這不等式可以用導數比較來證明：
當r = 0,1時，等式顯然成立。
在
上定義f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中
， 對x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 則f'(x) = 0當且僅當x = 0。分情況討論：
- 0 < r < 1，則對x > 0，f'(x) < 0；對 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0時取最大值0，故得。
- r < 0或r > 1，則對x > 0，f'(x) > 0；對 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0時取最小值0，故得。
在這兩種情況，等號成立當且僅當x = 0。
[编辑] 相關不等式
下述不等式從另一邊估計(1 + x)r：對任意x, r > 0，都有
。
