Diophantische vergelijkingen
Een Diophantische vergelijking is een polynomische vergelijking waarvan de oplossingen gehele getallen moeten zijn. Het type vergelijkingen is genoemd naar de Griekse wiskundige Diophantus van Alexandrië.
Voorbeelden van Diophantische vergelijkingen zijn:
- x − 2y = 1: Het aantal gehele oplossingen (x,y) van deze vergelijking is oneindig. Voorbeelden van oplossingen zijn (3,1), (5,2), ...
- xn + yn = zn: Voor n = 2 zijn de gehele oplossingen (x,y,z) de Pythagorese drietallen, hiervan zijn er oneindig veel (bijvoorbeeld (3, 4, 5) , (5, 12, 13), ..). Voor n > 2, zegt de laatste stelling van Fermat dat er geen gehele getallen (x, y, z) aan de vergelijking voldoen.
- x2 − ny2 = 1: deze vergelijking werd door Euler - verkeerdelijk - toegewezen aan de Engelse wiskundige John Pell (1611-1685), en staat bekend als de vergelijking van Pell. Maar de vergelijking was reeds eeuwen daarvoor uitvoerig bestudeerd door Indische wiskundigen. Fermat bewees dat deze vergelijking altijd een oplossing heeft behalve wanneer n een kwadraat is. De oplossing is te vinden in een eindig aantal stappen door met behulp van kettingbreuken een benadering van de vierkantswortel van n te zoeken.
