Equazione diofantea

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In matematica, un'equazione diofantea è un'equazione in una o più incognite con coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere. L'aggettivo diofanteo si riferisce al matematico greco del terzo secolo, Diofanto di Alessandria, che studiò equazioni di questo tipo e fu uno dei primi matematici ad introdurre il simbolismo nell'algebra. In una equazione diofantea lineare le incognite appaiono solo come potenze di primo grado.

Un nome tradizionale dato allo studio di tali equazioni è l'analisi diofantea. I problemi che essa cerca di risolvere sono:

Esistono delle soluzioni?
Esistono delle soluzioni oltre a quelle che è facile trovare (ad esempio per ispezione diretta)?
Esistono finite o infinite soluzioni?
È possibile, in teoria, trovare una lista di tutte le soluzioni?
È possibile in pratica calcolare direttamente tutte le soluzioni?

Problemi di questo tipo rimasero spesso irrisolti per secoli, ed i matematici arrivarono gradualmente a comprenderne la profondità (in alcuni casi), piuttosto che trattarli come banali rompicapo. Nel 1970, un nuovo risultato nella logica matematica conosciuto come teorema di Matiyasevich mostrò che non c'è la speranza di ottenere una teoria completa, risolvendo di fatto il decimo problema di Hilbert. Di conseguenza, il punto di vista della geometria diofantea, che consiste nell'applicazione delle tecniche della geometria algebrica a questo campo, ha continuato ad ampliarsi; dato che trattare le equazioni arbitrarie è un vicolo cieco, l'attenzione si rivolge alle equazioni che hanno anche un significato geometrico.

Esempi di equazioni diofantee sono:

ax + by = 1: Vedi identità di Bézout.
xⁿ + yⁿ = zⁿ: Per n = 2 ci sono infinite soluzioni (x, y, z), le terne pitagoriche. Per valori di n più grandi, la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat ha confermato che non esistono soluzioni (x, y, z) intere che soddisfino l'equazione data.
x² - n y² = 1: l'(equazione di Pell) che prende il nome, erroneamente, dal matematico inglese John Pell. Essa fu studiata da Fermat.

Uno dei pochi metodi generali è costituito dal principio di Hasse. La discesa infinita, escogitata da Fermat, è il metodo tradizionale, e fu adottato ampiamente per molto tempo.

La profondità dello studio delle equazioni diofantee generali è mostrata dalla caratterizzazione degli insiemi diofantei come ricorsivamente enumerabili.

Il campo dell'approssimazione diofantea si occupa delle disuguaglianze diofantee: si suppone ancora che le variabili siano intere, ma alcuni coefficienti possono essere numeri irrazionali, e il segno di uguaglianza viene sostituito da limiti inferiori e superiori.