Algebra
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
L'algebra è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazione e quantità.
Il termine algebra (dall'arabo الجبر, al-ğabr che significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare") deriva dal nome del libro del matematico persiano arabo Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, intitolato Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala ("Compendio sul Calcolo per Completamento e Bilanciamento"), che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.
Indice |
[modifica] Algebra elementare
L'algebra può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'algebra elementare. Quest'ultima, insegnata nelle scuole secondarie, estende a sua volta l'aritmetica tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamati variabili e denotati con delle lettere dell'alfabeto.
Alle variabili si applicano le usuali operazioni aritmetiche di addizione, differenza, moltiplicazione e divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come le equazioni ed i polinomi e i metodi di risoluzione per trovarne le radici.
[modifica] Algebra astratta
L'algebra astratta è una estensione dell'algebra elementare, nata nel XIX secolo e sviluppatasi enormemente nel XX secolo. L'algebra astratta definisce e studia le strutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati assiomi. Questi insiemi estendono gli usuali insiemi numerici, quali i numeri interi o razionali, e le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto.
Esempi di strutture algebriche sono i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali.
[modifica] Algebra lineare
L'algebra lineare è l'algebra utile a studiare le equazioni lineari. Protagonista dell'algebra lineare è lo spazio vettoriale, una struttura che generalizza il piano cartesiano e permette di definire spazi di dimensione arbitraria.
L'algebra lineare è di importanza fondamentale in molte discipline scientifiche.
[modifica] Teoria dei gruppi
Il gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una singola operazione binaria che soddisfa alcune proprietà. Molti insiemi sono gruppi: ad esempio i numeri interi (con l'operazione somma), oppure l'insieme delle simmetrie di un particolare oggetto geometrico.
La teoria dei gruppi studia queste strutture. Fornisce risultati che si applicano in tutta la geometria, e in particolare alla topologia, e allo studio delle simmetrie. Ha anche una forte correlazione con la combinatoria: l'insieme delle permutazioni di un insieme è ad esempio un gruppo.
[modifica] Teoria degli anelli
Un anello è una struttura algebrica che arricchisce quella di gruppo, fornendo anche una seconda operazione binaria: le due operazioni binarie devono soddisfare degli assiomi che le rendono simili alle operazioni di somma e prodotto dei numeri interi. Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l'insieme dei polinomi o delle matrici (con opportune operazioni di somma e prodotto).
La teoria degli anelli studia queste strutture. Si applica allo studio delle radici di un polinomio, all'algebra lineare (tramite ad esempio lo studio delle matrici, o di strumenti raffinati quali il polinomio caratteristico e il polinomio minimo), e in un modo più avanzato alla geometria algebrica.
[modifica] Teoria dei campi
Un campo è un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che molte strutture semplici non soddisfano: ad esempio gli interi non sono un campo, mentre i razionali sì.
La teoria dei campi studia queste strutture. I campi sono l'oggetto base necessari per la definizione degli spazi vettoriali e quindi per tutta l'algebra lineare. Sono anche i protagonisti della teoria di Galois.
[modifica] Altre branche dell'algebra astratta
Oltre alle strutture già descritte, l'algebra ne studia molte altre, tra cui semigruppi, reticoli, moduli, algebre su campo, bialgebre, algebre di Hopf, superalgebre.
]], per contro, si occupa degli anelli non commutativi.
- La teoria delle rappresentazioni studia le realizzazioni mediante matrici di varie strutture algebriche, in particolare dei gruppi finiti, dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
- L'algebra universale studia le proprietà comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprietà dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore dell'algebra ha molti punti in comune con la teoria delle categorie.
- L'algebra computazionale studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.
- L'algebra applicata si occupa delle applicazioni dell'algebra, come quelle riguardanti la crittografia.
[modifica] Altri usi
La parola algebra viene anche usata come semplificazione dei termini qui usati come sinonimi algebra (struttura) e algebra su campo; inoltre viene usata come sostantivo nei termini che denotano varie strutture algebriche:
- algebra di Boole - algebra di Kleene - sigma-algebra - algebra di incidenza - algebra di Lie - algebra di Clifford - algebra di Jordan - algebra di Cayley-Dickson - algebra di Poisson - algebra di Virasoro - algebra di gruppo - algebra di divisione - algebra alternativa - algebra quadratica - algebra di Hopf - algebra di Banach - B* algebra - C* algebra - algebra differenziale
[modifica] Voci correlate
Sono numerosi i settori della matematica non prettamente algebrici che si servono approfonditamente di strutture algebriche. A questo proposito rinviamo alle voci:
- gruppo fondamentale - spazio vettoriale topologico - spazio di Hilbert - spazio di Banach - geometria affine - geometria proiettiva - geometria algebrica - topologia algebrica
- Diofanto, "padre dell'Algebra"
- Mohammed al-Khwarizmi
