Vergelijking (wiskunde)

Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee expressies, waarin een of meer onbekende grootheden voorkomen, met elkaar worden vergeleken, d.w.z. aan elkaar gelijk worden gesteld.

Traditioneel worden de onbekende grootheden, onbekenden geheten, aangeduid met letters die aan het einde van het alfabet voorkomen, zoals x, y en z. Letters die in het begin van het alfabet voorkomen, bijvoorbeeld a, b en c, gebruikt men om constanten weer te geven.

Inhoud

1 Algebraïsche vergelijkingen
- 1.1 Indeling van de algebraïsche vergelijkingen
- 1.2 Vergelijking met goniometrische functies
2 Oplossing van vergelijkingen
3 Stelsels vergelijkingen

[bewerk] Algebraïsche vergelijkingen

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft elke complexe algebraïsche vergelijking van graad 1 of hoger met één onbekende minstens één complexe oplossing. Reële vergelijkingen hebben niet noodzakelijk een reële oplossing, al hebben alle reële algebraïsche vergelijkingen van oneven graad wel minstens één reële oplossing. Het maximale aantal oplossingen is gelijk aan de graad van de vergelijking.

In het algemeen noemt men een lichaam (in België: veld) $K$ algebraïsch gesloten als elke algebraïsche vergelijking van graad 1 of hoger met coëfficiënten in $K$ , minstens één oplossing heeft in $K$ .

[bewerk] Indeling van de algebraïsche vergelijkingen

De eenvoudigste (algebraïsche) vergelijking is: $x = a \,$ , wat betekent dat x dezelfde waarde heeft als a. De vergelijking is in essentie dezelfde als de vergelijking $x - a = 0 \,$ .

Algebraïsche vergelijkingen worden ingedeeld naar de hoogste macht van de voorkomende onbekende(n). Deze macht noemt men de graad van de (algebraïsche) vergelijking.

$ax + b = 0 \,$ is de algemene vorm van een lineaire vergelijking (of van de 1e graad).
$ax^2 + bx + c = 0 \,$ is de algemene vorm van een vierkantsvergelijking (of van de 2e graad); zie verder bij parabool.
$ax^3 + bx^2 +cx + d = 0 \,$ is de algemene vorm van een derdegraadsvergelijking (of van de 3e graad)

Bij hogere-graadsvergelijking bleven wiskundigen zich het hoofd breken over de algemene oplossing van de vijfdegraadsvergelijking, totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossing niet in algebraïsche vorm (aan de hand van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en worteltrekking) bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van Galoistheorie.

De stelling van Abel is niet in tegenspraak met de hoofdstelling van de algebra. Een complexe vijfdegraadsveelterm heeft altijd nulpunten, maar die zijn niet altijd in een algebraïsche formule met worteltrekking te vatten. Het eenvoudigste voorbeeld is $x 5 + x + 1 = 0$ .

Zie oplossen van vergelijkingen voor het oplossen van algebraïsche vergelijkingen.

[bewerk] Vergelijking met goniometrische functies

Het volgende voorbeeld is een vergelijking waarin goniometrische functies worden gebruikt:

$sin(3x)=cos^2(x) - 1\!$

[bewerk] Oplossing van vergelijkingen

Een vergelijking heeft een oplossing, als er een (toegelaten) waarde van de onbekende is waarvoor de vergelijking bij invulling in een gelijkheid overgaat. Zo heeft de vergelijking x - 2 = 4 is de oplossing x = 6.

Niet alle vergelijkingen hebben echter een oplossing. De vergelijking

$\frac{x - 3}{2x - 6}= 1$

bijvoorbeeld heeft geen oplossing, omdat geen enkele waarde van x de vergelijking tot een gelijkheid maakt. Daarentegen heeft de vergelijking

$x^2=4 \,$

twee oplossingen, namelijk x=2 en x=-2, en de (triviale) vergelijking

$x = x \,$

heeft zelfs oneindig veel oplossingen.

Zie verder: oplossen van vergelijkingen

[bewerk] Stelsels vergelijkingen

Naast enkelvoudige vergelijkingen bestaan er stelsels van vergelijkingen, bijvoorbeeld 2 vergelijkingen met 2 onbekenden. Ook voor deze geldt dat ze soms wel, soms niet oplosbaar zijn.

Categorie: Wiskundige vergelijking