Hoofdstelling van de algebra

De hoofdstelling van de algebra, een belangrijke stelling binnen de wiskunde, werd voor het eerst geformuleerd door Jean Le Rond d'Alembert, en als eerste sluitend bewezen door Carl Friedrich Gauss. De stelling houdt in dat elke veelterm

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... +a_n x^n\,$

van de graad $n$ (d.w.z. $a_n \neq 0$ ), met complexe coëfficiënten $a k$ , kan worden ontbonden in precies $n$ factoren:

$a_n(x - b_1) \cdot (x - b_2) \cdot \dots \cdot (x - b_n)$

Dit is gelijkwaardig met de vaststelling dat $\mathbb{C}$ algebraïsch gesloten is.

[bewerk] Wortels

De getallen $b_1,b_2,\ldots,b_n\,$ heten de wortels of nulpunten van de polynoom. Het aantal wortels is dus gelijk aan de graad van de polynoom, zij het dat sommige wortels kunnen samenvallen; we spreken in dat geval van meervoudige wortels.

Als de polynoom reëel is, dat wil zeggen dat alle $a k$ reële getallen zijn, komen alle niet-reële wortels voor als geconjugeerde paren, dus met z is dan ook de geconjugeerde $\overline z$ een wortel van de polynomiale vergelijking. Reële polynomen van een oneven graad hebben dientengevolge altijd minstens één reële wortel.

Als de coëfficiënten van de polynoom reëel, positief en afnemend zijn (dus $a 0 > a 1 > ... > a i > ... > a n > 0$ ), liggen de wortels binnen de eenheidscirkel in het complexe vlak.

[bewerk] Bewijsmethode

Het bewijs van de hoofdstelling is noodzakelijkerwijs niet zuiver algebraïsch, maar moet op één of andere manier gebruikmaken van de bijzondere eigenschappen van de complexe getallen. De kern van het bewijs bestaat erin, met behulp van complexe analyse aan te tonen dat elke niet-constante complexe veelterm $P (x)$ een nulpunt heeft.

Op hoofdlijnen loopt het bewijs (uit het ongerijmde) als volgt. Stel dat de complexe veeltermfunctie $x\mapsto P(x)$ geen nulpunten heeft. Dan is $1 / P (x)$ een begrensde analytische functie waarvan het domein het hele complexe vlak omvat. En dus is $Q (x) = 1 / P (1 / x)$ een begrensde analytische functie waarvan het domein alle complexe getallen behalve 0 omvat.

Omdat $Q$ begrensd is in de omgeving van 0, is het punt 0 een ophefbare singulariteit. Daaruit volgt dat $1 / P (x)$ voor $x$ ver weg van 0 naar een constante convergeert. Maar de functiewaarde van een globale analytische functie (zoals $1 / P (x)$ ) kan geschreven worden als een lijnintegraal langs een willekeurig grote cirkel met middelpunt $x$ . Daaruit volgt dat $1 / P$ , en dus ook $P$ , constant is.

Categorieën: Algebra | Complexe analyse | Wiskundige stelling

Hoofdstelling van de algebra

[bewerk] Wortels

[bewerk] Bewijsmethode

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen