Funzione esponenziale

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La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica. Per i non esperti del formalismo matematico si può dire che un andamento esponenziale di tipo crescente o decrescente si può costruire numericamente su un diagramma cartesiano fissando un valore qualunque (positivo per semplicità) ed aggiungendo o togliendo sempre la stessa percentuale dell'ultimo risultato ottenuto partendo dal valore prefissato avendo quantizzando l'asse X a passi uguali per ognuna di queste operazioni. Viene solitamente indicata come $exp(x)\;$ oppure $e^x\;$ , dove $e\;$ rappresenta la base del logaritmo naturale.

La funzione esponenziale è quasi piatta (crescendo lentamente) per x negativo, e cresce velocemente per x positivo.

Come funzione della variabile reale x, e^x è sempre positivo (sopra l'asse x) e crescente. Non tocca mai l'asse x, sebbene giunga arbitrariamente vicino ad esso (in altri termini l'asse x è un asintoto orizzontale al grafico). La sua funzione inversa, il logaritmo naturale, ln(x), è definita per tutti gli x positivi.

A volte, specialmente nelle scienze, si indicano come funzioni esponenziali tutte quelle della forma ka^x, dove a, chiamato base, è un numero reale positivo. Questo articolo si concentrerà inizialmente sulla funzione esponenziale di base e.

In generale, la variabile x può essere qualunque numero reale o complesso, o anche un tipo di oggetto matematico completamente diverso; vedi sotto la definizione formale.

Indice

1 Proprietà
2 Derivate ed equazioni differenziali
3 Definizione formale
4 Calcolo numerico
5 Funzione esponenziale complessa
- 5.1 Proprietà dell'esponenziale complesso
- 5.2 Funzione logaritmo complessa
6 Matrici ed algebre di Banach
7 Sulle algebre di Lie
8 Doppia funzione esponenziale
9 Voci correlate
10 Collegamenti esterni

[modifica] Proprietà

Grafico delle funzioni a^x per tre diverse basi

Usando il logaritmo naturale è possibile generalizzare la nozione di funzione esponenziale. La funzione

$\!\, a^x=e^{x \ln a}$

definita per ogni a > 0, e tutti i numeri reali x, è chiamata funzione esponenziale di base a.

Ovviamente l'equazione appena citata è valida per a = e, poiché

$\!\, e^{x \ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^x.$

Le funzioni esponenziali godono delle seguenti proprietà:

$\!\, a^0 = 1$

$\!\, a^1 = a$

$\!\, a^{x + y} = a^x a^y$

$\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$\!\, a^x b^x = (a b)^x$

Esse sono valide per tutti i numeri reali a e b e tutti i numeri reali x ed y. Le espressioni contenenti frazioni e radici possono spesso essere semplificate utilizzando la notazione esponenziale perché:

${1 \over a} = a^{-1}$

e, per ogni a e b numeri reali con a > 0, e per ogni intero n > 1:

$\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}$

[modifica] Derivate ed equazioni differenziali

L'importanza delle funzioni esponenziali in matematica e nelle applicazioni dipende soprattutto dalle proprietà delle sue derivate. In particolare,

${d \over dx} e^x = e^x$

Cioè e^x è uguale alla sua derivata, una proprietà unica tra le funzioni reali di variabile reale. Formulazioni equivalenti di questa proprietà sono:

La pendenza del grafico in ogni punto è uguale all'altezza del grafico in quel punto.
Il tasso di crescita della funzione in x è uguale al valore della funzione in quel punto.
La funzione risolve l'equazione differenziale y′ = y.

In effetti molte equazioni differenziali danno origine a funzioni esponenziali, comprese l'equazione di Schrödinger e l'equazione di Laplace, come pure le equazioni per il moto armonico semplice.

Per quanto riguarda le funzioni esponenziali di altre basi:

${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x$

Dunque qualunque funzione esponenziale è pari ad un multiplo costante della sua derivata.

Se il tasso di crescita (o di diminuzione) di una variabile è proporzionale alla sua dimensione — come nel caso della crescita illimitata della popolazione (vedi catastrofe maltusiana), di interesse composto continuamente, o di decadimento radioattivo — allora si può scrivere la variabile come prodotto di una costante per la funzione esponenziale del tempo.

[modifica] Definizione formale

La funzione esponenziale $e x$ può essere definita in due modi equivalenti, come limite di una successione:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n\,\,\,(1)$

o come somma della serie:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots\,\,\,(2)$

dove n! è il fattoriale di n e la Σ inidica una sommatoria. Più in generale, data una matrice quadrata A m per m:

$e^A = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = I + A + {A^2 \over 2!} + {A^3 \over 3!} + {A^4 \over 4!} + \cdots$

dove I è la matrice identica m per m e Aⁿ è l'elevamento a potenza della matrice A. Le definizioni (1) e (2) coincidono, in quanto presa la sequenza $\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n$ e sviluppandone il binomio si ha in forza del teorema binomiale

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} {{x^k} \over {n^k}} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}}$

ove $\ {n \choose k} = \ {n! \over k!(n-k)!} = { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over k!}$

e, di conseguenza

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}} = \sum_{k=0}^{n} { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over {n^k}} {{x^k} \over {k!}}$

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ {{n-0} \over {n}} {{n-1} \over {n}} {{n-1} \over {n}} ... {{n-(k-1)} \over {n}} \right]$

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

Prendendo ora il limite per $\ n \to \infty$ si ha che

$\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

ove per ogni addendo della sommatoria il fattore $\ \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$ tende ad 1.

Inoltre il passaggio al limite trasforma la serie in una serie infinita

$\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} = \sum_{k=0}^{\infty} {{x^k} \over {k!}}$

da cui discende che

$\ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} {{x^k} \over {k!}}$

In queste definizioni, $n!$ indica il fattoriale di n, e x può essere qualsiasi numero reale o complesso, o elemento di un'algebra di Banach (per esempio una matrice quadrata), o un membro del campo dei numeri p-adici.

[modifica] Calcolo numerico

Per ottenere un'approssimazione numerica della funzione esponenziale, si può scrivere la serie infinita come segue:

$e^x = {1 \over 0!} + x \, ( {1 \over 1!} + x \, ( {1 \over 2!} + x \, ( {1 \over 3!} + x \, ( {1 \over 4!} + x \, ( {1 \over 5!} + x \, ( {1 \over 6!} + \cdots ))))))$

Questa espressione converge rapidamente se x è minore di 1.

In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità:

$e^x = e^{z+f} = e^z \times [ {1 \over 0!} + f \, ( {1 \over 1!} + f \, ( {1 \over 2!} + f \, ( {1 \over 3!} + f \, ( {1 \over 4!} + f \, ( {1 \over 5!} + f \, ( {1 \over 6!} + \cdots ))))))]$

dove z = int(x), la parte intera di x;
f = x - z;
di conseguenza, z è un numero intero e f è un numero reale minore di 1.

[modifica] Funzione esponenziale complessa

Poiché il campo dei numeri complessi è la naturale estensione dei numeri reali, dacché li contiene, è altrettanto naturale definire l'esponenziale complesso:

f (z) = e z = e x (cos y + i sin y)

dove $e x = f (x + i 0)$ è la parte reale che coincide con la funzione esponenziale reale; y rappresenta sempre l'angolo espresso in radianti.

L'esponenziale complesso è una funzione olomorfa, periodica con periodo immaginario $2π i$ . La definizione mette in relazione la funzione esponenziale alle funzioni trigonometriche e a quelle iperboliche (vedi anche la formula di Eulero).

Si può definire anche l'esponenziale complesso per $z=\frac {1}{n}$ , cioè la funzione:

$\sqrt[n]{e}$

intendendola come positiva.

[modifica] Proprietà dell'esponenziale complesso

$e^z = e^x \cdot e^{iy} = r \cdot e^{i\theta}$ ;

$e i y = cos y + i sin y$ ;

$| e z | = e x = r$ ;

$\arg(e^z)=y + 2k\pi$ ; dove $k=0,\pm 1, \pm 2,...$ ;

$\left (e^{z_1}\right) \left(e^{z_2}\right)= e^{z_1+z_2}$ ;

$\frac {e^{z_1}} {e^{z_2}} = e^{z_2 - z_1}$

$\left (e^z \right)^n = e^{nz}$ ; dove $n = 0,\pm 1, \pm 2,...$

$e 0 = 1$

$e^z \ne 0$

${d \over dz} e^z = e^z$

[modifica] Funzione logaritmo complessa

Per approfondire, vedi la voce Logaritmo complesso.

Estendere la definizione di logaritmo naturale a valori complessi porta ad una funzione polidroma, ln(z). A questo punto è possibile definire un'esponenziazione più generale:

$\!\, z^w = e^{w \ln z}$

per tutti i numeri complessi z e w; ovviamente, anche questa è una funzione polidroma. Le leggi esponenziali sopracitate rimangono valide se interpretate propriamente come affermazioni sulle funzioni polidrome.

La funzione esponenziale mappa ogni retta nel piano complesso in una spirale logaritmica con centro nell'origine. Ciò si può vedere osservando che il caso di una retta parallela all'asse reale o immaginario viene mappata ad una retta o un cerchio.

[modifica] Matrici ed algebre di Banach

La definizione di funzione esponenziale data sopra può essere direttamente utilizzata per ogni algebra di Banach, e in particolare per le matrici quadrate. In questo caso abbiamo

e x + y = e x e y se x y = y x

e 0 = 1

e^x è invertibile, e il suo inverso è uguale a e^−x

Inoltre, la derivata di exp(x) nel punto x è quella mappa lineare che manda u in u · e^x.

Nell'ambito delle algebre di Banach non commutative, come le algebre di matrici o operatori nello spazio di Banach o nello spazio di Hilbert, la funzione esponenziale è spesso considerata come una funzione di argomento reale:

f (t) = e t A

dove A è un elemento dell'algebra fissato e t è un qualsiasi numero reale. Questa funzione possiede alcune importanti proprietà:

f (s + t) = f (s) f (t)

f (0) = 1

f'(t) = A f (t)

[modifica] Sulle algebre di Lie

La "mappa esponenziale" che manda un'algebra di Lie nel gruppo di Lie che dà origine ad essa possiede le proprietà dette sopra, e ciò giustifica la terminologia. Infatti, poiché R è l'algebra di Lie del gruppo di Lie di tutti i numeri reali positivi con la moltiplicazione, l'ordinaria funzione esponenziale di argomenti reali è un caso speciale della situazione dell'algebra di Lie. Analogamente, poiché l'algebra di Lie M(n, R) di tutte le matrici quadrate appartiene al gruppo di Lie di tutte le matrici quadrate invertibili, la funzione esponenziale per le matrici quadrate è un caso speciale dell'algebra di Lie mappa esponenziale.

[modifica] Doppia funzione esponenziale

Il termine doppia funzione esponenziale può avere due significati:

una funzione con due termini esponenziali, con esponenti diversi
una funzione f(x)=a^a^x; la quale cresce perfino più velocemente di una funzione esponenziale;per esempio, se a = 10: f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 10¹⁰, f(2) = 10¹⁰⁰ = googol, f(3) = 10¹⁰⁰⁰, ..., f(100) = googolplex.