Funzione olomorfa

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Le funzioni olomorfe sono gli oggetti principali degli studi dell'analisi complessa; esse sono funzioni definite su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi C con valori in C che sono differenziabili in senso complesso in ogni punto del loro dominio. La differenziabilità in senso complesso di una funzione complessa è una condizione molto più stringente della differenziabilità reale in quanto implica che la funzione è infinite volte differenziabile e che può essere completamente individuata dalla sua serie di Taylor. Spesso si usa il termine funzione analitica come se fosse sinonimo di "funzione olomorfa"; occorre invece notare che il primo termine viene usato con vari altri significati. Una funzione che è olomorfa sull'intero piano complesso viene chiamata funzione intera. La qualifica "funzione olomorfa in un punto a" significa non solo che è differenziabile in senso complesso in a, ma anche che essa è differenziabile in ogni punto di qualche disco aperto del piano complesso centrato in a.

[modifica] Definizione

Consideriamo un sottoinsieme aperto U di C e una funzione f : U → C; diciamo che f è differenziabile in senso complesso (in breve C-differenziabile) nel punto z₀ di U se esiste unico il limite

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$ .

Questo limite si intende valutato su tutte le successioni di numeri complessi che convergono a z₀; quindi si chiede che per tutte queste successioni il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero; questo viene individuato dalla scrittura f '(z₀). Intuitivamente, se f è C-differenziabile in z₀ e se ci avviciniamo al punto z₀ secondo una direzione individuata da un numero complesso r, allora le immagini della funzione si avvicinano al punto f(z₀) secondo la direzione determinata dal prodotto di numeri complessi f '(z₀) r. Questa costruzione della C-differenziazione possiede molte delle proprietà della differenziabilità reale:

essa è una trasformazione lineare ed ubbidisce alle regole del prodotto, del quoziente e della derivazione di funzioni composte.

Se f è C-differenziabile in ogni punto z₀ di U, si dice che essa è una funzione olomorfa su U. Si dice che f è olomorfa nel punto z₀ se essa è olomorfa in qualche intorno di z₀.

Una definizione equivalente a quella data è la seguente. Una funzione complessa è olomorfa se e solo se soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann.

[modifica] Esempi

Tutte le funzioni polinomiali nella variabile complessa z con coefficienti complessi sono olomorfe sull'intero C, cioè sono funzioni intere.

Sono funzioni intere anche la funzione esponenziale complessa e le funzioni trigonometriche nella z. (In effetti le funzioni trigonometriche sono esprimibili come composizioni di varianti della funzione esponenziale attraverso la formula di Eulero).

La funzione 1/z è olomorfa su C \ {0}, il piano complesso privato dell'origine .

Il ramo principale della funzione logaritmo ln(z) è olomorfa su C \ {z ∈ R : z ≤ 0}, cioè sul piano complesso privato dei reali non positivi.

La funzione radice quadrata si può definire come

$\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\ln z}$

e di conseguenza è olomorfa in tutti i punti del piano complesso nei quali lo è la funzione logaritmo ln(z).

Gli esempi base di funzioni complesse non olomorfe sono la coniugazione complessa, il passaggio alla parte reale e la funzione valore assoluto.

[modifica] Proprietà

Le proprietà della C-differenziazione di essere lineare e di ubbidire alle regole del prodotto, del quoziente e della derivazione di funzioni composte implicano che le somme, i prodotti e le composizioni di funzioni olomorfe sono funzioni olomorfe; implicano inoltre che il quoziente di due funzioni olomorfe è una funzione olomorfa in tutti i punti nei quali la funzione a denominatore è diversa da 0.

Ogni funzione olomorfa avente come dominio U è infinite volte C-differenziabile in ogni punto c di U. Essa coincide con la somma della propria serie di Taylor centrata in c la quale converge su ogni disco aperto di centro c che appartiene interamente a U. Una tale serie di Taylor può convergere su un disco con centro a più esteso; ad esempio, la serie di Taylor della funzione logaritmo avente come dominio U il piano complesso privato della semiretta dei reali non positivi converge su ogni disco che non contiene l'origine 0; tutti i dischi con il centro avente parte reale negativa e raggio maggiore del modulo della parte immaginaria comprendono punti del semiasse dei reali negativi. Per una dimostrazione vedi analiticità delle funzioni olomorfe.

Se si identifica C con R², allora le funzioni olomorfe possono identificarsi con le coppie di funzioni in due variabili reali che risolvono le equazioni di Cauchy-Riemann; queste costituiscono un sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali.

In vicinanza dei punti con derivata non nulla le funzioni olomorfe sono mappe conformi, cioè trasformazioni che mantengono gli angoli e la forma delle piccole figure piane (ma non le loro estensioni).

la formula integrale di Cauchy stabilisce che ogni funzione olomorfa su un disco chiuso, nei punti interni di tale disco risulta completamente determinata dai valori che essa assume sulla circonferenza che fa da frontiera del disco.

[modifica] Funzioni olomorfe in più variabili

Una funzione complessa di più variabili complesse di dice analitica eolomorfa in un punto c se è localmente sviluppabile (all'interno di un polidisco, cioè all'interno di un prodotto cartesiano di dischi centrato nel punto c) come serie di potenze nelle variabili che sia convergente. Si osserva che questa condizione è più forte delle equazioni di Cauchy-Riemann; in effetti essa può essere espressa nella forma seguente:

Una funzione di più variabili complesse a valori complessi è olomorfa se e solo se soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann ed è localmente a quadrato sommabile.