Valore assoluto

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In matematica, il valore assoluto (o modulo) numero reale è una funzione che associa alla variabile della x il numero stesso se esso è positivo, il suo opposto se questo è negativo. Ad esempio, 3 è il valore assoluto sia di 3 che di −3, mentre 0 è l'unico valore assoluto di 0. Dato un numero x il suo valore assoluto si rappresenta con |x|. Il valore assoluto di un numero non è mai minore di zero. Il valore assoluto di un numero reale r minore di zero è -r, cioè si ottiene ponendo il segno negativo davanti al numero.

Indice 1 Valore assoluto di un numero reale 2 Proprietà 3 Numeri complessi 4 Funzione modulo 5 Spazi metrici 6 Valore assoluto dei vettori 7 Algoritmi

[modifica] Valore assoluto di un numero reale

Nel caso di numeri reali il valore assoluto si può definire come:

oppure

| x | : = max{x, − x}

o mediante le pratiche parentesi di Iverson:

| x | : = − x[x < 0] + x[x > 0] .

Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta reale allora il valore assoluto può essere visto come la distanza di un numero sulla dallo zero. Concetti che generalizzano quest'idea sono la nozione matematica di distanza e quella di norma che talvolta usa la stessa notazione del valore assoluto.

[modifica] Proprietà

Il valore assoluto ha le seguenti proprietà:

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 sse (se e solo se) a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (con b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| (la disuguaglianza triangolare)
6. |a−b| ≥ ||a| − |b||
7. 
8. |a−b| = 0 sse a = b
9. |a| ≤ b sse −b ≤ a ≤ b
10. |a| ≥ b sse a ≤ −b or b ≤ a

Le ultime due proprietà sono spesso sfruttate nella soluzione delle disequazioni; ad esempio:

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12

[modifica] Numeri complessi

Nel caso di un numero complesso c il valore assoluto o modulo è definito come

dove Re(c) è la parte reale del numero e Im(c) la parte immaginaria.

In maniera equivalente si può definire il valore assoluto o il modulo di come , dove il complesso coniugato di c.

Questa definizione di valore assoluto su soddisfa le proprietà dalla 1 alla 6 sopra indicate.

[modifica] Funzione modulo

Per argomenti reali, la funzione valore assoluto f(x) = |x| è continua ovunque e derivabile per x ≠ 0. La funzione non è invertibile, in quanto non iniettiva cioè ci sono più numeri (un numero ed il suo opposto) con lo stesso valore assoluto (tranne che nel caso dello zero).

Per argomenti complessi, la funzione è sempre continua ma non è mai differenziabile (si può vedere mostrando che non obbedisce alle equazioni di Cauchy-Riemann).

[modifica] Spazi metrici

Si può interpretare l'espressione |x − y| come alla distanza fra due numeri x e y (sulla retta dei reali se x e y sono reali, e sul piano complesso se x e y sono complessi).

Usando il valore assoluto come distanza, sia l'insieme dei numeri reali che quello dei numeri complessi diventano spazi metrici.

[modifica] Valore assoluto dei vettori

Il valore assoluto di un vettore v, (x₁, x₂,..., x_n), è dato da:

Si noti inoltre che |v| è la lunghezza del vettore v e che oltre al termine valore assoluto si utilizza spesso il termine norma pitagorica.

In effetti può considerarsi generalizzazione della nozione di valore assoluto di un numero reale o complesso anche la nozione di norma di un vettore di uno spazio normato o di una matrice: l'insieme dei reali e l'insieme dei complessi si possono infatti considerare spazi normati monodimensionali e insiemi di matrici 1 × 1.

[modifica] Algoritmi

Nel linguaggio C il valore assoluto di un numero è calcolato dalle funzioni abs(), labs(), llabs() (in C99), fabs(), fabsf(), e fabsl(). Scrivere la versione della funzione per i numeri interi è banale, se non si considera il caso limite in cui venga immesso il più grande numero intero negativo:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}

Le versioni per numeri a virgola mobile sono più complesse, in quanto devono tener conto dei codici speciali per l'infinito e not-a-number.