Abszolútérték-függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli. Az abszolútérték-függvény értékét az abszolútérték jelével jelöljók: az x∈ $\mathbb{R}$ helyen ez |x|.

Tartalomjegyzék

1 Lehetséges definíciói
2 Analitikus tulajdonságok
3 Algebrai tulajdonságok
- 3.1 Multiplikativitás
- 3.2 Iteráció-invariancia
4 Hivatkozások
5 Lásd még
6 Irodalom

[szerkesztés] Lehetséges definíciói

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

$abs(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\;\;x\mapsto |x|$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútértéket-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

$abs(x) \ = \ |x| \ = \ \begin{cases} \ x, & \mbox{ha }x \ge 0, \\ -x, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}$
$abs(x) \ = \ |x| \ = \ x\cdot \sgn (x)$
$abs(x) \ = \ |x| \ = \ \max\{x,-x\}\,$

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok

[szerkesztés] Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: |x|≥0

és ezért

||x|| = |x| .

Bizonyítás: az [1] definícióból könnyen levezethető. A nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

[szerkesztés] Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

|x+y| ≤ |x|+|y| .

(Ld. még az abszolút érték c. cikk idevágó részét).

[szerkesztés] Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

[szerkesztés] Derivált

Deriváltja a szignumfüggvény ℝ\{0}-ra szűkítve (0-ban nem deriválható, töréspontja van):

|x|'= sgn(x) ha x≠0 .

Ez az [1]. definícióból, a szignumfüggvény megfelelő definíciójával összehasonlítva, következik; ha x<0, akkor |x| = -x, ezen a tartományon deriválva -1 adódik, ami épp a szignumfüggvény értéke. Hasonlóan ha x>0, akkor |x| = x, tehát deriváltja 1; szintén a szignumfüggvény értékével egyezik.

0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

[szerkesztés] Multiplikativitás

Multiplikatív („erős” értelemben), azaz tetszőleges x,y valós számokra:

|x·y| = |x|·|y| .

(Ld. még az abszolút érték c. cikk idevágó részét).

[szerkesztés] Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga:

|x|^<n> = |x| ha n>0 .