Formula integrale di Cauchy

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Dal teorema integrale di Cauchy deriva il fatto fondamentale che possiamo rappresentare una qualsiasi funzione analitica in termini di integrale lungo un contorno chiuso del suo dominio.

Sia $f (z)$ una funzione analitica (e monodroma)in un dominio A aperto e sia $γ$ una curva semplice e chiusa, percorsa in senso antiorario, contenuta in A. Sia S la regione racchiusa da $γ$ , $z$ la variabile di integrazione e $z 0$ un punto qualsiasi interno ad S; allora vale la rappresentazione integrale di Cauchy per la funzione $f (z)$ :

$f(z_0) = \frac {1} {2\pi i} \cdot \oint_{\gamma} \frac {f(z)}{z- z_0} \,dz$ formula di Cauchy.

che esprime il valore di una funzione in ogni punto del dominio mediante i valori che essa assume sul contorno di tale dominio.

Se $γ$ è una circonferenza di raggio R centrata in $z 0$ la formula di Cauchy va sotto il nome di teorema della media: Se $f (z)$ è analitica nel cerchio di raggio R e continua sulla circonferenza centrata nel punto $z 0$ allora il valore assunto dalla funzione nel centro è pari alla media dei valori assunti dalla funzione sulla circonferenza:

$f(z_0) = \frac {1} {2\pi i} \cdot \oint_{\gamma} \frac {f(z)}{z- z_0} \,dz = \frac {1} {2\pi i} \cdot \int_{0}^{2\pi} \frac {iRe^{i\phi}f(z_0 +R e^{i\phi})}{Re^{i\phi}} \ d\phi = \frac {1} {2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} f(z_0 +R e^{i\phi}) \ d\phi$

Consideriamo un esempio fondamentale: il calcolo dell'integrale $I = \int_{l} (z-a)^n \, dz$ ; dove l è una curva chiusa e $n \in \Z$ .

Consideriamo dapprima il caso in cui $n \ge 0$ . In questo caso la primitiva della funzione integranda è monodroma e analitica in tutto il piano e quindi l'integrale è nullo per il teorema di Cauchy.

Ora prendiamo il caso $n < - 1$ . In questo caso la nostra funzione integranda è monodroma e analitica ovunque ad eccezione del punto $z = a$ . Se supponiamo che il contorno l non passi per il punto $z = a$ l'integrale è ancora nullo per il teorema di Cauchy.

Infine consideriamo il caso $n = - 1$ , in cui la funzione integranda non è più olomorfa;cioè l'integrale:

$I = \int_{l} \frac {dz}{z-a}$ .

Chiaramente se il punto $z = a$ si trova fuori dalla regione racchiusa da l, l'integrale è ancora nullo. Supponiamo invece si trovi all'interno e tracciamo una circonferenza C di centro $z = a$ e raggio $ρ$ . In questo modo abbiamo costruito una regione chiusa tra l e la nostra circonferenza C. Allora possiamo calcolare questo integrale sulla circonferenza C, esprimendo i vettori z-a in forma esponenziale e sostituendo:

$I = \int_{C} \frac {dz}{z-a} = \int_{0}^{2\pi} \frac {i \rho e^{i\theta}d\theta}{\rho e^{i\theta}} = \int_{C} i \cdot \, d\theta = 2\pi \cdot i$ .

Questo vale per ogni circonferenza di centro $z = a$ .

Prendiamo adesso come funzione $f (z) = f (a) + f (z) - f (a)$ e calcoliamo l'integrale

$\int_{l} \frac {f(z)}{z-a} \,dz = f(a) \cdot 2\pi i + \int_{C_\rho} \frac {f(z)-f(a)}{z-a} \,dz$ .

Il primo integrale non dipende dal raggio $ρ$ mentre il secondo sì. Se ora facciamo diminuire a piacere $\rho \to 0$ , per la disuguaglianza di Darboux, l'integrale a secondo membro diventa nullo e $f(a)= \frac {1} {2\pi i} \cdot \int_{l} \frac {f(z)}{z-a} \,dz$ . Abbiamo dimostrato la rappresentazione integrale di Cauchy, sottoforma di teorema:

[modifica] Derivate della formula di Cauchy

sappiamo che una funzione analitica può essere derivata quante volte si vuole nel suo dominio di analiticità; allora anche la sua rappresentazione integrale deve essere derivabile dello stesso ordine, derivando sotto il segno di integrale, ottenendo anche la rappresentazione integrale delle derivate della funzione:

$f'(z) = \frac {1} {2\pi i} \cdot \int_{l} \frac {f(z')}{(z'- z)^2} \,dz'$ ,

$f''(z) = \frac {2!} {2\pi i} \cdot \int_{l} \frac {f(z')}{(z'- z)^3} \,dz'$ ,

...

$f^{(n)}(z) = \frac {n!} {2\pi i} \cdot \int_{l} \frac {f(z')}{(z'- z)^{n+1}} \,dz'$ .

teorema

Se una funzione è analitica in un punto allora anche tutte le sue derivate sono analitiche in quel punto. Estendendo si ha anche che se la funzione è analitica in un dominio, anche le sue derivate sono analitiche nello stesso dominio.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Analisi complessa

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