Teorema integrale di Cauchy

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Il teorema di cauchy afferma che data una funzione complessa analitica $f (z)$ definita in un dominio A semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa e almeno regolare a tratti, interamente contenuta in A:

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = 0$

Dimostrazione

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di $f (z)$ è dato da:

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \oint_{\gamma} [u(x,y)dx - v(x,y)dy] + i \oint_{\gamma} [v(x,y)dx + u(x,y)dy]$

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \iint_{E} \left [- \frac {\partial v(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial u(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy + i \cdot \iint_{E} \left [- \frac {\partial u(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial v(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy = 0$ ;

dove E è la regione interna a

γ

. Poiché

f (z)

è analitica, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:

$\begin{matrix} u_x = v_y \\ u_y = - v_x \end{matrix}$

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

$f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdot \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]$

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

[modifica] Corollario

Se $γ 1$ e $γ 2$ sono due diverse curve semplici, almeno regolari a tratti che congiungono i punti A e B, tutte contenute nel dominio di analiticità della funzione $f (z)$ , allora:

$\int_{A{\gamma_1}}^{B} f(z) \ dz = \oint_{A{\gamma_2}}{B} f(z) \ dz$