Eksponenttifunktio
Wikipedia
Eksponenttifunktio, tai joskus eksponentiaalifunktio, on eräs matematiikan tärkeimmistä funktioista. Se merkitään ex tai exp(x). Jälkimmäistä muotoa käytetään yleensä, jos x on monimutkainen lauseke.
Reaalilukumuuttujan x funktiona eksponenttifunktion ex kuvaaja on aina positiivinen (x-akselin yläpuolella) ja kasvava. Se ei koskaan saavuta x-akselia vaan lähestyy sitä äärettömästi. Näin ollen x-akseli muodostaa kuvaajan vaakasuoran asymptootin.
Eksponenttifunktion käänteisfunktio, luonnollinen logaritmi ln(x), on määritelty kaikilla positiivisilla x:n arvoilla.
[muokkaa] Derivaatat ja differentiaaliyhtälöt
Eksponenttifunktioiden merkitys johtuu niiden derivaattojen ominaisuuksista:
Tämä tarkoittaa, että ex on yhtäsuuri kuin oma derivaattansa. Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen reaalilukumuuttujien reaalilukuarvoisilla funktioilla. Toisin sanoen:
- Funktion kuvaajaa sivuava suora missä kohdassa kuvaaja tahansa on yhtäsuuri kuin funktion arvo samassa kohdassa.
- Funktion kasvunopeus kohdassa x on yhtäsuuri kuin funktion arvo kohdassa x.
- Funktio ratkaisee differentiaaliyhtälön y′ = y.
Monet differentiaaliyhtälöt, kuten Schrödingerin yhtälö ja Laplacen yhtälö, johtavat eksponenttifunktioihin.
Muille eksponenttifunktioille pätee:
Täten jokainen eksponenttifunktio on oma derivaattansa vakiolla kerrottuna.
Jos muuttujan kasvu tai väheneminen on suhteessa muuttujan kokoon, kuten esimerkiksi on tapaus rajoittamattomassa väestönkasvussa tai radioaktiivisessa hajoamisessa, voidaan muuttuja kirjoittaa muodossa vakio kertaa eksponenttifunktio ajan suhteen.
[muokkaa] Määritelmä
Eksponenttifunktion arvo voidaan määritellä sarjana
tai raja-arvona:
Tässä n! on kertoma ja x on reaaliluku tai kompleksiluku. e on Neperin luku.
