Exponentialfunktion

Wikipedia

Exponentialfunktionen är en matematisk funktion. Den betecknas

y = e x

eller

y = exp(x)

där e är basen i den naturliga logaritmen. För reella x är y alltid positivt, och växer då x växer. Den inversa funktionen är den naturliga logaritmen, vilken är definierad för alla positiva värden.

För rent imaginära tal x är exponentialfunktionen cyklisk, om x = it där t är reellt och i den imaginära enheten, så gäller att

e x = e i t = cos(t) + i sin(t)

[redigera] Egenskaper

En mer generell exponentialfunktion kan konstrueras genom att sätta

a x = e x l n (a)

där a > 0 kallas basen.

Några räkneregler:

$a^0 = 1 \,\!$

$a^1 = a \,\!$

$a^{-x} = {1 \over a^x}\,\!$

$a^xa^y = a^{x+y}\,\!$

${a^x \over a^y} = a^{x-y}\,\!$

$a^{xy} = (a^x)^y\,\!$

$(ab)^x = a^xb^x\,\!$

$a^{x/n} = \sqrt[n]{a^x}\,\!$

[redigera] Derivator och differentialekvationer

Derivatan av en exponentialfunktion är åter en exponentialfunktion, närmare bestämt

${d \over dx}e^{kx} = ke^{kx} \,\!$

eller allmänt

${d \over dx}a^{kx} = \ln(a)ka^{kx} \,\!$

Detta ger att en differentialekvation av första ordningen

${dy \over dx} + ay = 0$

har följande lösning:

$y = C e - a x$

Detta uttryck används för att beräkna ränta på ränta, radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och det ger en approximation av tillväxten av en population då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

[redigera] Definition

Det finns minst två olika sätt att definiera exponentialfunktionen:

Dels genom en Taylorserie, det vill säga en oändlig serie

$e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} {x^k \over k!}$

där k! betecknar fakulteten av k.
Dels genom ett gränsvärde av en talföljd

$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {x \over n} \right) ^n$

Dessa definitioner klarar dock av att definiera mer generella exponentialfunktioner: x kan vara förutom ett reellt tal, även ett komplext tal, en kvadratisk matris eller ett godtyckligt element ur en Banachalgebra.