Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions Kertoma – Wikipedia

Kertoma

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee matemaattista kertomaa. Artikkeli verbien aikamuodosta, katso imperfekti.

Kertoma kuvaa äärellisen joukon permutaatioiden, eli sen alkioiden välisten järjestysten, lukumäärää. Luvun $n \in \mathbb{N}$ kertoma on

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ ,

ja $0! = 1$ .

Kertoman arvot kasvavat eksponenttifunktiotakin kiivaammin. Esimerkkejä kertoman arvoista:

$3!$	$=$	$1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$4!$	$=$	$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5!$	$=$	$4! \cdot 5 = 120$
$10!$	$=$	$3 \, 628 \, 800$
$15!$	$=$	$1 \, 307 \, 674 \, 368 \, 000$
$20!$	$=$	$2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$
$50!$	$=$	$30 \, 414 \, 093 \, 201 \, 713 \, 378 \, 043 \, 612 \, 608 \, 166 \, 064 \, 768 \, 844 \, 377 \, 641 \, 568 \, 960 \, 512 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000$
$100!$	$\approx$	$9{,}333 \cdot 10^{157}$
$1 \, 000!$	$\approx$	$4{,}024 \cdot 10^{2 \, 567}$
$10 \, 000!$	$\approx$	$2{,}846 \cdot 10^{35 \, 659}$
$100 \, 000!$	$\approx$	$2{,}824 \cdot 10^{456 \, 573}$
$106!$	$\approx$	$8{,}264 \cdot 10^{5 \, 565 \, 708}$
$107!$	$\approx$	$1{,}202 \cdot 10^{65 \, 657 \, 059}$
$108!$	$\approx$	$1{,}617 \cdot 10^{756 \, 570 \, 556}$

Sisällysluettelo

1 Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona
2 Stirlingin kaava
3 Katso myös
4 Aiheesta muualla

[muokkaa] Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

$n! = \prod_{p\leq n} p^{ \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor }$ ,

missä luvut $p$ ovat alkulukuja.

[muokkaa] Stirlingin kaava

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla

$n! \approx \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}$ .

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on voimassa arvio

$\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n}}$ .

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä, ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

$\left( \frac{10}{e} \right)^{10} \sqrt{2 \pi \cdot 10}$	$\approx$	$3 \, 598 \, 696$
$\left( \frac{100}{e} \right)^{100} \sqrt{2 \pi \cdot 100}$	$\approx$	$9{,}325 \cdot 10^{157}$
$\left( \frac{1 \, 000}{e} \right)^{1 \, 000} \sqrt{2 \pi \cdot 1 \, 000}$	$\approx$	$4{,}024 \cdot 10^{2 \, 567}$
$\left( \frac{10^6}{e} \right)^{10^6} \sqrt{2 \pi \cdot 10^6}$	$\approx$	$8{,}265 \cdot 10^{5 \, 565 \, 708}$
$\left( \frac{10^9}{e} \right)^{10^9} \sqrt{2 \pi \cdot 10^9}$	$\approx$	$9{,}905 \cdot 10^{8 \, 565 \, 705 \, 522}$

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../k/e/r/Kertoma.html

Luokat: Kombinatoriikka | Lukuteoria

Views

Etsi

Muilla kielillä

MediaWiki

Wikimedia Foundation

Tätä sivua muokkasi viimeksi ”Wikipedian käyttäjä Escarbot” 18.34 kello 29. marraskuuta 2006. Perustuu työlle, jonka teki Wikipedian käyttäjä(t) Thijs!bot, Anr, YurikBot, Riojajar, Ekhoc, OM, Chlewbot, H-Bot, Robbot, Hautala, Matikkapoika, Jonik, Mikko Paananen ja Hei. ja Wikipedian anonyymit käyttäjät.
Sisältö on käytettävissä lisenssillä GNU Free Documentation License. Wikipedia ® on Wikimedia-säätiön rekisteröimä tavaramerkki.
Tietoja Wikipediasta
Vastuuvapaus

THIS WEB:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2006:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu