Faculteit (wiskunde)

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000

Voor een natuurlijk getal n is n faculteit, genoteerd n!, gedefinieerd als

$n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n$ ,

het product van de getallen van 1 tot en met n. Per definitie geldt dat 0! = 1.

De faculteitsfunctie groeit snel, sneller zelfs dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden (plus nul) staan hiernaast.

[bewerk] Gebruik

De faculteit wordt frequent gebruikt in de combinatoriek; als antwoord op de vraag op hoeveel manieren je n elementen kunt rangschikken: er zijn daar n! mogelijkheden voor. Dit is een permutatie van n elementen uit n. Verder komt de faculteit ook terug bij het berekenen van combinaties: op hoeveel manieren kan je m elementen uit n elementen kiezen (waarbij de volgorde geen belang heeft); oplossing voor dit probleem is:

$C_n^m={n\choose m}$ , zijnde $\frac{n!}{m! (n-m)!}$ mogelijkheden.

[bewerk] Continu veralgemening

De Gammafunctie

$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

$\!\Gamma(n+1) = n!$ .

Het belangrijkste verschil is dat de gammafunctie gegedefiniëerd is voor alle complexe getallen, met uitzondering van de negatieve gehele getallen -1, -2, -3, ... .

[bewerk] Benadering

Voor grote waardes van n, kan men de Faculteit van dat getal ook benaderen m.b.v. de formule van Stirling:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

n	n!	benadering door Stirling
10	3.628.800	3.598.695,624
20	0,24329 * 10¹⁹	0,2422 * 10¹⁹
30	0,26525 * 10³³	0,2645 * 10³³
40	0,8159 * 10⁴⁸	0,8142 * 10⁴⁸
50	0,3041 * 10⁶⁵	0,3036 * 10⁶⁵
100	0,9333 * 10¹⁵⁸	0,9325 * 10¹⁵⁸
1000	4,024 * 10²⁵⁶⁷	4,024 * 10²⁵⁶⁷
10.000	2,846 * 10^35.659	2,846 * 10^35.659

[bewerk] Zie ook

Categorieën: Getaltheorie | Combinatoriek

Views

Informatie

Zoeken

in andere talen

Deze pagina is het laatst bewerkt op 17:54, 30 nov 2006 door Wikipediagebruiker CaAl. Gebaseerd op werk van Wikipediagebruiker(s) Escarbot, Thijs!bot, GKJ, RobotQuistnix, Bemoeial, TXiKi, RobotE, YurikBot, Simeon, Chlewbot, Robbot, Ruben Ebben, Rex, Gpvosbot, Henna, RoboRex, Nikolai1983, MADe, Jan o b, Dedalus, Robotje, Johan Lont, HenkvD, Andre Engels, Evanherk en Lvg en Anonieme gebruiker(s) van Wikipedia.
De tekst op Wikipedia is zonder enige vorm van garantie beschikbaar onder de GNU Free Documentation License.
Over Wikipedia
Voorbehoud