Proporzionalità (matematica)

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Questo articolo riguarda la proporzionalità in quanto relazione matematica; per l'utilizzo del termine con altri significati vedi proporzionalità (disambigua).

In matematica, due quantità variabili tra le quali intercorre una relazione di qualche natura x e y si dicono proporzionali (o più esplicitamente, direttamente proporzionali) se esiste una relazione funzionale caratterizzata da una costante numerica non nulla k tale che

$\,y = k x\,$ .

Questa k è chiamata la costante di proporzionalità della relazione. Per segnalare che y e x sono proporzionali senza precisare la costante di proporzionalità si usano scritture come

$y \sim x$ oppure $y \propto x$ oppure $\,y = \mbox{cost.}\; x\,$ .

Per esempio, se un veicolo si muove a velocità costante la durata del suo movimento e la distanza che copre sono proporzionali; in questo caso la costante di proporzionalità è la velocità del veicolo. Similmente, la forza fisica che esercita sopra un corpo materiale la gravità della Terra in una certa località è proporzionale alla massa del corpo.

Per verificare che due quantità x and y sono proporzionali, si devono eseguire misurazioni adeguate e si devono disegnare i punti corrispondenti in un diagramma cartesiano. Se i punti appartengono a o, più realisticamente, se distano poco da una retta passante per l'origine (0,0), allora le due variabili sono proporzionali e la costante di proporzionalità è data dalla pendenza della retta (v. regressione lineare).

Due quantità x e y si dicono inversamente proporzionali se esiste una costante non nulla k tale che si può affermare

$y = {k \over x}$ .

Ad esempio il numero di persone che si devono ingaggiare per la raccolta dei pomodori in un'azienda agricola è, in buona approssimazione, inversamente proporzionale al numero dei giorni entro il quale si vuole che il lavoro sia completato.

Si riesce a parlare di proporzionalità diretta e inversa anche quando si hanno relazioni funzionali non lineari ma ad es. logaritmiche, esponenziali, quadratiche, cubiche o altre: in questi casi basta introdurre una variabile intermedia che abbia una forma come

$Y=\log(y) \quad Y=\exp(y) \quad Y=y^2 \quad Y=\sqrt{y} \quad Y=y^3 \quad ...$ .

[modifica] Quaterna di numeri proporzionali

Quattro numeri sono proporzionali fra loro, se il primo è multiplo o parte del secondo, come il terzo è rispetto al quarto. (Def. 20 - Libro VII degli Elementi di Euclide)

Il termine proporzione si può considerare sinonimo di rapporto e il rapporto tra due numeri reali a e b, il secondo dei quali diverso da zero, cioè il quoziente del primo numero rispetto al secondo, viene indicato con:

$\,a:b\ \quad\mbox{oppure}\quad \frac{a}{b}\,$

Al termine proporzione si può anche attribuire il significato di particolare relazione fra quattro numeri.

Si dice che quattro numeri reali positivi a, b, c, d sono in proporzione fra loro, se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto; in formula:

$a:b=c:d \quad\mbox{oppure}\quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Questa relazione quaternaria si legge: a sta a b, come c sta a d .

Per esprimere questa situazione si può anche dire che i numeri a, b, c, d, nell'ordine costituiscono una quaterna di numeri proporzionali. Questo termine è preciso ma un po' pesante e si può abbreviare parlando di una quaterna proporzionale.

Ad esempio i numeri 3, 6, 5, 10 formano una quaterna di interi proporzionali perché il rapporto 3/6 è uguale al rapporto 5/10. Altre quaterne proporzionali sono

(1.2, 2.7, 5.6, 12.6) e (15, 0.8, 21, 1.02) .

I numeri a, b, c, d si dicono termini della proporzione e in particolare a e c si dicono antecedenti della proporzione, b e d conseguenti della proporzione, a e d estremi della proporzione, b e c medi della proporzione; infine d è detto quarto proporzionale che segue a, b e c.

Dalla definizione si ricava immediatamente la proprietà fondamentale delle proporzioni:

Se quattro numeri sono in proporzione, il prodotto del primo con il quarto è uguale al prodotto del secondo con il terzo. (Prop. 19 - Libro VII degli Elementi di Euclide)

In altre parole: in ogni quaterna proporzionale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In formula

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a d = b c$

Da questa proprietà ne derivano altre:

1. Regola del quarto proporzionale

Noti tre numeri a,b,c, il quarto proporzionale, d, tale che $\,a:b = c:d\,$ , è dato da

$d=\frac{bc}{a}$

Similmente si hanno le formule

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a=\frac{bc}{d}~,~~ b=\frac{ad}{c}~,~~ c=\frac{ad}{b}$

2. Proprietà dell’invertire

Data una quaterna proporzionale, se ne ottiene un’altra scambiando tra loro ogni antecedente con il proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad b:a=d:c$

3. Proprietà del permutare

Data una quaterna proporzionale se ne ottiene un’altra scambiando tra loro o i medi o gli estremi:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a:c=b:d\,, \quad d:b=c:a\,, \quad d:c=b:a$

4. Proprietà del comporre

In ogni quaterna proporzionale la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad (a+c):(b+d)=a:b\,, \quad (a+c):(b+d)=c:d$

5. Proprietà dello scomporre

In ogni quaterna proporzionale la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad (a-c):(b-d)=a:b\,, \quad (a-c):(b-d)=c:d$

Quando i due medi di una quaterna proporzionale coincidono, cioè quando

$a:b=b:d \quad\mbox{ovvero}\quad b^2=a\cdot d$

il loro comune valore è la media geometrica dei due estremi. Il numero 'b' è la parte media proporzionale fra i numeri 'a' e 'd' .

[modifica] Voci correlate

rapporto
similarità
fonte proporzionale
correlazione
Metodo di falsa posizione in Fibonacci, o Regula falsi
Metodo di doppia falsa posizione in Fibonacci, o Metodo elchataym proporzionalità quadratica

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Categoria: Matematica di base

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