Equazione di Laplace
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L'equazione di Laplace è un equazione differenziale alle derivate parziali scoperta da Pierre Simon Laplace. Soluzioni dell'equazione di Laplace hanno importanti ricadute in molti campi della scienza. Questa equazione riveste particolare importanza nei settori dell'elettromagnetismo, astronomia, fluidodinamica dato che descrive i campi gravitazionali, elettrici e il potenziale nei fluidi.
Il problema è trovare la funzione φ a valori reali di classe C2, cioè derivabile due volte con continuità nelle sue variabili x1, ..., xn tale che:
Può essere scritto anche come:
o
o
dove 
è l'operatore divergenza e 
è l'operatore gradiente.
Se l'equazione non è omogenea, cioè il secondo membro dell'equazione presenta la funzione non identicamente nulla f
allora l'equazione viene chiamata equazione di Poisson. Questa equazione è un semplice esempio di equazione differenziale alle derivate parziali ellittica. L'operatore differenziale 
o 
(definito su tutte le dimensioni dello spazio) viene chiamato Operatore di Laplace o Laplaciano.
Il Problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace consiste nel trovare la soluzione di φ definita del dominio D tale che φ sul bordo di D sia uguale alla funzione di partenza. Dato che l'equazione di Laplace appare nell'equazione del calore un'interpretazione fisica del problema di Dirichlet può essere la seguente. Supponendo di avere un corpo e di sottoporre i bordi del corpo a una temperatura costante (la funzione di partenza) quando la distribuzione della temperatura all'interno del corpo si stabilizza quella è al soluzione del corrispondente problema di Dirichlet.
Il Problema di Neumann per le equazioni di Laplace è simile al problema di Dirichlet tranne che la funzione non specifica il valore di φ sul bordo di D ma specifica la derivata normale di φ sul bordo. Fisicamente questo corrisponde alla costruzione di un potenziale su un campo vettore conoscendo le variazioni del campo sul bordo.
Le soluzioni delle equazioni di Laplace che sono differenziabili e continue due volte sono definite funzioni armoniche e sono tutte funzioni analitiche.
Due soluzioni dell'equazione di Laplace se sommate (o combinate linearmente) danno a loro volta una soluzione. Questa proprietà è molto utile dato che soluzioni di problemi complessi possono essere ottenute come combinazione lineare di soluzioni semplici.
