Coseno

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Dato un triangolo rettangolo, il coseno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il coseno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria.

Definendo come cos(x) il valore del coseno nell'angolo x, si ottiene la funzione coseno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

[modifica] Definizione

Nel triangolo rosso in figura, il coseno di x è dato da

$\cos(x) = \frac {\overline{OC}}{\overline{OD}}$

Più in generale, si definisce il coseno prendendo una circonferenza di raggio unitario ed una semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse come in figura. Il coseno dell'angolo x è quindi definito come il valore della coordinata x del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento OC).

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione coseno:

X in radianti	0	$\frac \pi 6$	$\frac \pi 4$	$\frac \pi 3$	$\frac \pi 2$	$π$	$\frac {3\pi} 2$	$2π$
X in gradi	0	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
cos(x)	1	$\frac {\sqrt 3} 2$	$\frac {\sqrt 2} 2$	$\frac 1 2$	0	-1	0	1

[modifica] Funzione coseno

La funzione coseno è definita associando ad x il coseno dell'angolo x (rappresentato in radianti), ed è indicata con $cos(x)$ . Poiché x e x + 2π definiscono lo stesso angolo, la funzione coseno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo giro).

Rappresentazione grafica della funzione coseno

[modifica] Seno e coseno

Valori principali del seno e del coseno

Per approfondire, vedi la voce seno (trigonometria).

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:

sen 2 x + cos 2 x = 1

che è conseguenza del teorema di Pitagora.

[modifica] Proprietà analitiche del coseno

La derivata della funzione coseno è la funzione seno con un meno: abbiamo infatti

cos' x = - sen x .

La derivata seconda è invece

cos'' x = - cos x .

La funzione seno è una funzione analitica, la cui espansione in serie di Taylor è

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ $= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il coseno. La stessa serie definisce il coseno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.

[modifica] Definizioni correlate

Il reciproco del coseno (definito ove il coseno è diverso da zero) è la secante:

$\sec x =\frac 1{\cos x}$

La funzione coseno è iniettiva sull'intervallo $[0,π]$ ed ha quindi una inversa, chiamata arcocoseno (indicato con $arccos$ o a volte con l'equivoca espressione $cos - 1$ ).

[modifica] Origine del nome

Per approfondire, vedi la voce Seno (trigonometria)#Storia e origine del nome.

Il termine coseno sta per "complementare del seno". Infatti, per angoli tra 0 e $π / 2$ , il coseno di un angolo è il seno dell'angolo complementare, cioè

$\cos(x) = \sin\left(\frac \pi 2 - x\right)$ .

Questa relazione è valida per ogni $x$ ; tuttavia la nozione geometrica di angolo complementare si applica solo a angoli positivi, e quindi compresi tra 0 e $π / 2$ .

[modifica] Voci correlate

Trigonometria
Funzione trigonometrica \| Funzione trigonometrica inversa Seno \| Coseno \| Tangente \| Cotangente \| Secante \| Cosecante Arcoseno \| Arcocoseno \| Arcotangente \| Arcocotangente \| Arcosecante \| Arcocosecante Teorema dei seni \| Teorema del coseno \| Funzioni iperboliche \| Identità trigonometrica