Ipotenusa

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In un triangolo rettangolo si dice ipotenusa (dal latino hypotenusa dal greco hypoteínoysa, υποτείνουσα: linea tesa sotto) il lato opposto all'angolo retto. Gli altri due lati si chiamano invece cateti.

Indice

1 Calcolo della lunghezza
2 Considerazioni
3 Voci correlate

[modifica] Calcolo della lunghezza

La relazione fondamentale fra i lati di un triangolo rettangolo è stabilita dal teorema di Pitagora, che può essere adoperato per calcolare la misura dell'ipotenusa quando sono note le misure dei cateti. Con i metodi della trigonometria è anche possibile determinare la misura dell'ipotenusa conoscendo la misura di uno solo dei cateti insieme all'ampiezza di uno degli angoli acuti del triangolo rettangolo.

Nelle formule riportate qui sotto indicheremo con i l'ipotenusa, con c₁ e c₂ i due cateti e con h l'altezza costruita sull'ipotenusa di un generico triangolo rettangolo. Gli angoli opposti ai cateti c₁ e c₂ saranno rispettivamente γ₁ e γ₂.

[modifica] Dati i cateti

La misura dell'ipotenusa equivale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei cateti. Questo enunciato è una conclusione diretta del teorema di Pitagora.

$i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$

[modifica] Dati un cateto e un angolo acuto

La misura dell'ipotenusa equivale a quella di un cateto divisa per il seno dell'angolo opposto al cateto, o per il coseno dell'angolo adiacente.

$i=\frac{c_1}{\sin\gamma_1}=\frac{c_2}{\sin\gamma_2}=\frac{c_1}{\cos\gamma_2}=\frac{c_2}{\cos\gamma_1}$

[modifica] Dati un cateto e l'altezza sull'ipotenusa

La misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo equivale al rapporto fra il quadrato della misura di un cateto e quella della proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. E poiché la proiezione di un cateto sull'ipotenusa forma a sua volta un triangolo rettangolo con il cateto e con l'altezza sull'ipotenusa, ecco le uguaglianze:

$i=\frac{c_1^2}{\sqrt{c_1^2-h^2}}=\frac{c_2^2}{\sqrt{c_2^2-h^2}}$

Dunque in un triangolo rettangolo poggiato sull'ipotenusa, la misura di questa è determinata in modo univoco da un cateto e dall'altezza.

[modifica] Considerazioni

Con il teorema di Pitagora è facile dimostrare che la misura dell'ipotenusa è sempre maggiore di quella di un cateto. Ricordando che tutti i lati misurano più di zero: