Trigonometria

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La geometria elementare ci insegna a costruire un triangolo, dati tre elementi, di cui almeno uno sia un lato.

Costruito così il triangolo, la geometria non ci permette, in generale, di determinare con l'approssimazione desiderata, le misure degli elementi del triangolo. Viene allora spontaneo vedere se è possibile trovare un procedimento di calcolo che ci permette di determinare, con l'approssimazione che si desidera, la misura degli elementi di un triangolo, noti che siano alcuni di essi. Tale problema è risolto dalla Trigonometria.

[modifica] Le origini

La parola «trigonometria» deriva dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): misurazione del triangolo. Per molti secoli la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo entrambi più astronomi e geografi che non matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi Ben Gerson e successivamente, da Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

[modifica] I compiti specifici

Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo.

È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

[modifica] Funzioni trigonometriche

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà. Per ulteriori caratteristiche consultare la voce relativa ad una funzione.

[modifica] Funzioni trigonometriche dirette

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze ad un angolo, solitamente espresso in radianti. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo $π$ o $2π$ .

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione	Notazione	Dominio	Codominio	Radici	Periodo	Funzione inversa
seno	sin, sen	$\mathbb R$	$\left[-1, 1\right]$	$k\pi\|k\in\mathbb Z$	$2π$	arcoseno
coseno	cos	$\mathbb R$	$\left[-1, 1\right]$	$\frac\pi2+k\pi\|k\in\mathbb Z$	$2π$	arcocoseno
tangente	tan, tg	$\mathbb R\setminus\left(\frac\pi2+\mathbb Z\pi\right)$	$\mathbb R$	$k\pi\|k\in\mathbb Z$	$π$	arcotangente
cotangente	cot, cotg, ctg	$\mathbb R\setminus\left(\mathbb Z\pi\right)$	$\mathbb R$	$\frac\pi2+k\pi\|k\in\mathbb Z$	$π$	arcocotangente
secante	sec	$\mathbb R\setminus\left(\frac\pi2+\mathbb Z\pi\right)$	$\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	nessuna	$2π$	arcosecante
cosecante	csc	$\mathbb R\setminus\left(\mathbb Z\pi\right)$	$\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	nessuna	$2π$	arcocosecante

[modifica] Funzioni trigonometriche inverse

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde com'è prevedibile al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono tuttavia periodiche e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ oppure $\left[0, \pi\right]$ , in cui la funzione - e dunque anche la sua inversione - siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante il cui domini non sono continui vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione	Notazione	Dominio	Codominio	Radici	Andamento	Funzione diretta
arcoseno	arcsin, arcsen, sin^-1	$\left[-1, 1\right]$	$\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$	0	$\nearrow$	seno
arcocoseno	arccos, cos^-1	$\left[-1, 1\right]$	$\left[0, \pi\right]$	1	$\searrow$	coseno
arcotangente	arctan, arctg, tan^-1	$\mathbb R$	$\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$	0	$\nearrow$	tangente
arcocotangente	arccot, arccotg, arcctg, cot^-1	$\mathbb R$	$\left[0, \pi\right]$	$+\infty$	$\searrow$	cotangente
arcosecante	arcsec, sec^-1	$\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	$\left[0, \pi\right]$	1	discontinuo	secante
arcocosecante	arccsc, csc^-1	$\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	$\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$	$\pm\infty$	discontinuo	cosecante

[modifica] Etimologia dei nomi

Come per il resto delle lingue europee, l'italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine. Il termine seno proviene dalla traduzione latina sinus della parola araba gaib usata per indicare la metà della corda; in questo senso il seno denota la corda piegata su sé stessa. La parola tangente viene da latino tangens, letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione. Analogamente si spiega l'etimologia della secante, in latino secans, «che taglia». Le parole coseno, cotangente e cosecante derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine complementi sinus, complementi tangens, complementi secans, vale a dire «seno dell'angolo complementare», tangente, secante.

Trigonometria
Funzione trigonometrica \| Funzione trigonometrica inversa Seno \| Coseno \| Tangente \| Cotangente \| Secante \| Cosecante Arcoseno \| Arcocoseno \| Arcotangente \| Arcocotangente \| Arcosecante \| Arcocosecante Teorema dei seni \| Teorema del coseno \| Funzioni iperboliche \| Identità trigonometrica