Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

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Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (rot) und Höhenschnittpunkt (grün) liegen auf einer Gerade

Als ausgezeichnete Punkte (auch: merkwürdige Punkte) in der Geometrie ebener Dreiecke versteht man vor allem folgende vier Punkte:

den Höhenschnittpunkt (H),
den Umkreismittelpunkt (U) (Schnittpunkt der Seitensymmetralen),
den Inkreismittelpunkt (I) (Schnittpunkt der Winkelsymmetralen) und
den Schwerpunkt (S) (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden: Verbindung des Mittelpunktes einer Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt)

Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.

Inhaltsverzeichnis

1 Höhenschnittpunkt
2 Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers
3 Verwandte Themen
4 Weblinks

[Bearbeiten] Höhenschnittpunkt

Höhenschnittpunkt

Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen. Wenn man das Dreieck mit ABC und die Höhen mit AA₁, BB₁ und CC₁ bezeichnet, dann ist also der Höhenschnittpunkt der Schnittpunkt H der drei Geraden AA₁, BB₁ und CC₁. Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, so befindet sich der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks. Hat das Dreieck dagegen einen stumpfen Winkel (also einen Winkel über 90°), so liegt H außerhalb.

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks (Orthozentrum, $X 4$ )
Trilineare Koordinaten	$\sec\alpha \, : \, \sec\beta \, : \, \sec\gamma$
Baryzentrische Koordinaten	$\tan\alpha \, : \, \tan\beta \, : \, \tan\gamma$

Es gilt ferner

$AH\cdot HA_{1}=BH\cdot HB_{1}=CH\cdot HC_{1}$ .

Das Dreieck aus den Fußpunkten A₁, B₁ und C₁ der Höhen bezeichnet man als Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks ABC. Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks; ist das Dreieck ABC stumpfwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC ein Ankreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks.

[Bearbeiten] Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers

Neben den vier "klassischen" ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers (siehe Weblink) führt mehr als 3000 besondere Punkte und ihre wichtigsten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Inkreismittelpunkt	$X 1$
Schwerpunkt	$X 2$
Umkreismittelpunkt	$X 3$
Höhenschnittpunkt (Orthozentrum)	$X 4$
Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises	$X 5$
Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt)	$X 6$
Gergonne-Punkt	$X 7$
Nagel-Punkt	$X 8$
Mittenpunkt	$X 9$
Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum)	$X 10$
1. Fermat-Punkt	$X 13$
2. Fermat-Punkt	$X 14$
1. Napoleon-Punkt	$X 17$
2. Napoleon-Punkt	$X 18$