Fermat-Punkt
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Die beiden Fermat-Punkte, benannt nach dem französischen Rechtsanwalt und Mathematiker Pierre de Fermat, gehören zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC zeichnet man drei gleichseitige Dreiecke. Verbindet man die neu dazu gekommenen Punkte A', B' und C' mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt F. Dieser wird als 1. Fermat-Punkt des Dreiecks bezeichnet.
Wenn alle Winkel des Dreiecks ABC kleiner als 120° sind, dann ist der 1. Fermat-Punkt des Dreiecks derjenige Punkt im Inneren des Dreiecks, von dem aus alle drei Seiten unter einem 120°-Winkel erscheinen; dies bedeutet 
. Ist ein Winkel von Dreieck ABC größer oder gleich 120° - sei beispielsweise 
-, dann gilt stattdessen 
und 
.
Wenn alle Winkel des gegebenen Dreiecks ABC kleiner als 120° sind, dann ist ferner der 1. Fermat-Punkt derjenige Punkt, für den die Summe der Entfernungen von den Ecken des Dreiecks ABC (also die Summe 
) den kleinstmöglichen Wert annimmt. Der Beweis dieser Tatsache stammt von dem Italiener Evangelista Torricelli. Daher spricht man gelegentlich auch vom Fermat-Torricelli-Punkt. Ist dagegen ein Winkel des Dreiecks ABC größer oder gleich 120°, dann ist nicht mehr der 1. Fermat-Punkt der Punkt mit der kleinstmöglichen Summe der Entfernungen, sondern die Ecke, an der dieser Winkel liegt.
Der 2. Fermat-Punkt eines Dreiecks ergibt sich nach der gleichen Konstruktion wie der 1. Fermat-Punkt, nur muss man die gleichseitigen Dreiecke jeweils nicht "nach außen" über den Dreiecksseiten errichten, sondern "nach innen".
[Bearbeiten] Weblinks
- Fermat.html - eine Java-Visualisierung mit Hilfe von GeoGebra.
Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
