Baryzentrische Koordinaten

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Seien x₁, ..., x_n die Eckpunkte eines Simplex im Vektorraum A. Wenn für einen Punkt p aus A folgende Gleichung erfüllt ist,

(a₁ + ... + a_n) · p   =   a₁ x₁ + ... + a_n x_n

so nennen wir die Koeffizienten (a₁, ..., a_n) baryzentrische Koordinaten von p zu x₁, ..., x_n. Die Eckpunkte haben die Koordinaten (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1). Baryzentrische Koordinaten sind nicht eindeutig: Für jedes von Null verschiedene b sind (b a₁, ..., b a_n) ebenfalls baryzentrische Koordinaten von p.

Falls die Koordinaten positiv sind und sich zu 1 aufsummieren, so liegt der Punkt p in der konvexen Hülle von x₁, ..., x_n, also dem Simplex mit diesen Eckpunkten. Die Darstellung eines Punktes innerhalb einer konvexen Hülle als Summe von Eckpunkten eines Simplex wird affine Kombination oder baryzentrische Kombination genannt.

Stellen wir uns Massen im Verhältnis a₁, ..., a_n an den Eckpunkten des Simplex vor, so liegt der Massenschwerpunkt (das Baryzentrum) in p. Dies ist der Ursprung des Begriffs "baryzentrisch", eingeführt 1827 von August Ferdinand Möbius.