Pătrat magic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de n² numere într-un pătrat, în aşa fel încât toate numerele n din aceeaşi coloană, rând sau diagonală să dea adunate aceeaşi constantă. Un pătrat magic normal conţine întregii de la 1 la n²

Pătrate magice exista pentru toate ordinele n ≥ 1 în afară de n = 2, deşi cazul de ordinea n = 1 este trivial - Consistă dintr-o singură cellulă conţinând numărul 1. Cel mai mic caz nontrivial, arătat dedesubt, este de ordinea 3.

Cuprins 1 Introducere 2 Istorie 2.1 Pătratul magic al lui Albrecht Dürer 2.2 Pătratul magic al Familiei Sacre 3 Construcţia Pătratelor Magice 3.1 Pătrate magice de ordin impar (I) 3.2 Pătrate magice de ordin impar (II) 3.3 Pătrate magice de ordin multiplu de 4 3.4 Pătrate magice de ordin multiplu de 4 plus 2n 4 Variante 5 Pătrate magice ezoterice 5.1 Proprietate de echivalenţă 5.2 Proprietatea colţurilor 5.3 Proprietăţi poziţionale

[modifică] Introducere

Să considerăm succesia aritmerică 1, 2, 3, 4, ... 36 (pătrat de ordinea 6) şi să dispunem numerele în două rânduri in zig-zag:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
36	35	34	33	32	31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19

Aceasta rezultă în faptul că orice pereche de numere aliniate vertical da aceeaşi suma, ştiind că cu cât ne-am deplasat înainte în coloane, cu atât numerele de sus cresc cu o unitate, pe când cele de jos scad. Suma în toate cazurile este aceea a extremelor:

n² + 1 = 36 + 1 = 37

Dacă aranjăm ansamblul numerelor în şase randuri:

1	2	3	4	5	6
12	11	10	9	8	7
13	14	15	16	17	18
24	23	22	21	20	19
25	26	27	28	29	30
36	35	34	33	32	31

Cum se poate vedea, suma în diferitele coloane este necesar egală, fiind că numerele sunt grupate în perechi ca şi în primul caz (se pot compara perechile de rânduri 1ª-6ª, 2ª-5ª şi 3ª-4ª cu dispunerea originală). Acum oarecum, cele trei perechi de coloane fiind (n/2), suma va fi:

ceea ce se numeşte constanta magică, care în cazul nostru este de n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Ordinea n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
M2 (n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36

Sare în ochi ca pătratul precedent nu este un pătrat magic, pentru că aranjând numerele de manieră consecutivă, sumele cifrelor din fiecare rând cresc de fiecare dată. Oricum am găsit şase serii de numere între 1 şi 36, a căror sumă, fară să se repete niciunul, este constanta magică. Dacă în loc de dispunerea precedentă plasăm numerele în ordine consecutivă, obţinem o dispunere în care numerele din diagonala principala pot fi scrise sub forma (a-1)×n + a.

Calculând suma, ştim că rândurile a merg de la 1 la n:

Din nou constanta magică. Mai mult, orice serie de şase valori în care nu sunt două din acelaşi rând sau din aceeaşi coloană se va aduna să formeze constanta magică. Scriind termenul i, j al matricei ca (i-1)×n + j şi luând şase termeni oarecare ci condiţia ca nici i, nici j să se repete, şi să varieze de la 1 la n, ecuaţia rezultând este aceeaşi ca şi în cazul anterior şi suma, în consecinţă, constanta magică.

Cum se şi poate demonstra, contiatea de serii posibile de n numere care îndeplinesc condiţia anterioară este n !, 720 în pătrate de ordinea 6, şi nici chiar toate sunt posibile, fiind dat că am obţinut şase care nu sunt incluse printre ele. Prin definiţie, diind posibil să se construiască (n²) ! matrice în care nici un termen să nu se repete şi în care să existe cel puţin n ! (de fapt mult mai multe) combinaţii de numere care se adună să formeze constanta magică, se înţelege intuitiv că ce ar fi magic despre pătrat este că cu atâtea posibilităţi era imposibil să construiască un pătrat magic.

De ordinea 3 există doar un pătrat magic (variaţiile diferite se pot obţine prin rotaţie sau oglindire), în 1693 Bernard Frenicle de Bessy a stabilit că există 880 pătrate magice de ordinea 4 [1], posterior se gasiseră 275.305.334 pătrate magice de ordinea 5; numarul de pătrate magice de o ordine mai mare este necunoscut, dar după estimaţiile lui Klaus Pinn şi ale lui C. Wieczerkowski realizate în 1998 cu ajutorul metodelor lui Monte Carlo şi ale mecanicii statistice există (1,7745 ± 0,0016) × 10¹⁹ pătrate de ordinea 6 şi (3,7982 ± 0,0004) × 10³⁴ de ordinea 7.

În ceea ce priveşte ordinele inferioare, este evident că de ordinul unu există numai un pătrat magic,   1   , iar de ordinul 2 nu există niciunul, ceea ce poate fi demonstrat în figura pătratului magic a, b, c, d; pentru ca această dispoziţie să fie un pătrat magic ar fi trebuit să se îndeplinească urmatoarele ecuaţii (M fiind constanta magică sau orice altă cantitate, dacă este dorită):

a b c d

a + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M

scriind sistemul de ecuaţii de manieră matricială şi căutând ordinul matricei de coeficienţi, se obţine că este trei, pe când numărul de necunosute este patru, de aşa fel încât sistemul să aivă doar soluţia trivială a = b = c = d = M/2, fiind imposibil să se construiască un pătrat magic în care cele patru cifre să fie distincte.

[modifică] Istorie

4	9	2
3	5	7
8	1	6

În China antică, se cunoşteau pătratele magice încă din Mileniul al III-lea î.Hr., după cum atestă Lo Shu. După legendă, într-o bună zi se devărsă un râu; oamenii, înfricoşaţi, încercară să facă o ofrandă zeilor râului Lo (unul din cele devărsate) ca să-i calmeze furia. Totuşi, de fiecare dată cand făceau aceasta, apărea o broască ţestoasă care încercuia ofrandele fără să le accepte, până când un băiat îşi dădu seama de marcajele speciale de pe carapacea ei şi aşa putură să ofere catitatea cerută (15), şi să fericească zeul care readuse apele la nivelul lor. Au cunoscut si combinatii de aceasta clasă indienii, arabii, egiptenii si grecii. La pătrate asemănatoare, diferitele culturi au atribuit proprietăţi astrologice si divinatorii prodigioase, fiind de numeroase ori marcate în talismane. Aşa, cum reia Cornelius Agrippa în Despre filozofia ocultă III (1533), pătratul de ordinul trei(15) era consacrat zeului Saturn, cel de patru(34) lui Jupiter, cel de cinci(65) lui Marte, cel de şase(111) Soare, cel de şapte(175) lui Venus, cel de opt(260) lui Mercur şi cel de nouă(369)Lunei; o atribuţie similară se poate găsi în astrologia hindusă.

Introducerea pătratelor magice în occident se poate atribui lui Emanuel Moschopoulos, în jurul secolului al XVI-lea, autorul unui manuscris în care pentru prima oară se explică câteva metode pentru a le construi. Mai târziu, studiul proprietaţilor sale a atras tanţia unor mari matematicieni care au dedicat subiectului câteva opere chiar cu toată inutilitatea practică a pătratelor magice. Printre ei se pot cita Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler, ... se poate zice că nici un matamatician nu a putut rezista farmecelor pătratului magic.

[modifică] Pătratul magic al lui Albrecht Dürer

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Pătratul magic al lui Albrecht Dürer, sculptat în opera sa Melancolía este considerat primul din artele europene. În pătratul de ordinea patru se obţine constanta magică (34) în rânduri, coloane, diagonale principale, şi în cele patru submatricii de ordinul (2) în care se poate împărţi pătratul, adăugând numerele din colţuri, cele patru numere centrale, numerele centrale ale primelor şi ultimelor rânduri (sau coloane) etc. şi cifrele centrale ale ultimului rând 1514 fiind anul creaţiei operei.

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Câteva dispozţii în pătratul magic al lui Albrecht Dürer care se adună ca să formeze constanta magică. Melancolia, gravură de Albrecht Dürer.

[modifică] Pătratul magic al Familiei Sacre

Faţada Pasiunii a bisericii Familiei Sacre în Barcelona, concepută de sculptorul Josep Subirachs arată un pătrat magic de ordinea 4:

Constanta magică a pătratului este 33, vârsta lui Iisus Cristos în timpul Pasiunii. Structural, este forte asemănătoare pătratului magic din Melancolia, dar două numere din pătrat, (12 şi 16) sunt reduse în două unităţi (10 şi 14) iar de aceea apar repetiţii. Aceasta permite să se reducă constanta magică la 1.

[modifică] Construcţia Pătratelor Magice

Sunt numeroase forme de a construi un pătrat magic, dar cele mai simple consistă în a urmări anumite configuraţii sau formule care produc rezultate regulare. Mai mult, se poate să se impună condiţii adiţionale pătratului, obţinându-se pătrate bi-magice, tri-magice etc. Prin analogie, se pot construi cercuri, poligoane şi cuburi magice.

Nu există o metodă generală pentru a construi pătrate magice de orice ordin, fiind necesar să se facă distincţia între cele de ordin impar, cele de ordin multiplu de 4 şi restul de ordin par (4×m + 2)

[modifică] Pătrate magice de ordin impar (I)

Aceste pătrate pot fi generate cu metoda publicată în 1691 de Simon de la Loubere, numită câteodată metoda siameză, metodă cunoscută de astrologii orientali. Începând în căsuţa centrală a primului rând cu primul număr, umplem diagonala ruptă cu urmatoarele, în sens NV (sau NE). Odată umplută prima diagonală, este coborâtă de o poziţie şi se umple a doua în acelaţi sens ca şi prima, apoi repetând pasurile anterioare până se termină pătratul.

Evident, se putea începe în orice căsuţă centrală a rândurilor sau coloanelor perimetrale, fiind în fiecare caz direcţia diagonalelor în afara pătratului şi sensul deplasării o dată teminată fiecare diagonală dat prin poziţia relativă din centrul pătratului în ceea ce priveşte căsuţa centrală.

Rezultă evident că începănd cu orice altă căsuţă suma rândurilor şi a coloanelor va fi constanta magică, dat fiind că poziţia relativă a cifrelor va fi aceeaşi ca şi în cazul anterior; totuşi, în paralela diagonală a direcţiei umplute nu se confirmă aceste condiţie (confirmată în celaltă). De fapt, alegerea iniţială particulară a casuţei iniţiale răspunde necesităţii ca în diagonala paralelă direcţiei care trebuie umplută cele cinci numere centrale ale seriei să fie plasate consecutiv dat fiind că orice alte cinci numere consecutive nu se vor aduna la constanta magică.

[modifică] Pătrate magice de ordin impar (II)

Pasul întâi: Se scriu numerele de la 1 la n². Se scrie 1 în casuţa superioară a rombului şi se urmează în formă oblică ca şi în exemplul de mai jos. Pătratul magic va fi unul înscris în rombul format.

				1
			6		2
		11		7		3
	16		12		8		4
21		17		13		9		5
	22		18		14		10
		23		19		15
			24		20
				25

Pasul al doilea: Transferăm numerele din colţurile rombului în casuţele goale în partea opusă a rombului.

				1
			6		2
		11	24	7	20	3
	16	4	12	25	8	16	4
21		17	5	13	21	9		5
	22	10	18	1	14	22	10
		23	6	19	2	15
			24		20
				25

Pasul al treilea: Scoatem colţurile rombului: acum avem un pătrat magic de ordin impar.

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

[modifică] Pătrate magice de ordin multiplu de 4

Se construieşte un pătrat cu numerele dispuse consecutiv (să se vadă al doilea pătrat de ordinea 6 în introducere), dispoziţie în care ştim că suma diagonalelor este constanta magică. O dată facut, şi conservând submatricea centrală de ordinul n/2 şi cele din colţuri de ordinul n/4, învârtim de 180º numerele care rămân în jurul centrului pătratului, sau, dacă se preferă sunt puse în ordin descrescător (în ambele cazuri rezultatul este acelaşi).

Plecând de la aceaşi dispoziţie şi alegând patroane simetrice similare numerelor a fi conservate se pot construi pătrate magice diferite de cele obţinute înainte, ca şi următoarele:

[modifică] Pătrate magice de ordin multiplu de 4 plus 2n

Pentru a construi această clasă de pătrate magice se poate folosi metoda LUX. Se bayeayă îm parte pe metoda lui la Loubere, care se foloseşte în construcţia pătratelor magice de ordin impar (a vedea mai sus).

Ca exemplu, o să construim un pătrat magic de latura zece.

Pasul întâi:

Regrupăm căsuţele în grupuri de 2x2, şi le etichetăm pe fiecare în parte cu forma următoare:

-Pătratele k+1 din primele rânduri, unde k este împărţirea completă a mărimii pătratului în patru, sunt etichetate cu litera L (3 rânduri în cazul acesta).

-Pătratele rândului următor se etichetează cu litera U.

-Pătratele rândurilor rămase se etichetează cu litera X.

Aceste litere ne vor arăta pe urmă cum să umplem fiecare pătrat de 2x2.

	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	U		U		U		U		U
	X		X		X		X		X

Pasul al doilea:

Se schimbă pătratul U central cu pătratul L imediat superior.

	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	L		L		U		L		L
	U		U		L		U		U
	X		X		X		X		X

Pasul al treilea

Etichetăm fiecare pătrat de 2x2 cu un număr, ghidându-ne după metoda lui la Loubere. Cu această forma indicăm în ce ordine se va umple fiecare subpătrat.

17		24		1		8		15
	L		L		L		L		L
23		5		7		14		16
	L		L		L		L		L
4		6		13		20		22
	L		L		U		L		L
10		12		19		21		3
	U		U		L		U		U
11		18		25		2		9
	X		X		X		X		X

Pasul al patrulea

Acum, subpătratului al i-lea îi corespund numerele 4i-3, 4i-2, 4i-1 şi 4i. De exemplu, subpătratului 10 îi corespund numerele 37, 38, 39 şi 40.

Tot ce ne mai rămâne să ştim este cum să plasăm cele patru numere în subpătratul corespunzător, şi aici intră în joc etichetetele LUX.

al patrulea număr	primul număr
al doilea număr	al treilea număr

Subpătrat tip L

primul număr	al patrulea număr
al doilea număr	al treilea număr

Subpătrat tip U

primul număr	al patrulea număr
al treilea număr	al doilea număr

Subpătrat tip X

După cum se poate vedea, lierele ne spun forma pe care o iau numerele aşezându-se în fiecare subpătrat.

Cu toate acesete elemente se poate construi pătratul.

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

[modifică] Variante

[modifică] Pătrate magice ezoterice

N.B. Pentru a se vedea comparările, pentru pătratele magice ezoterice, s-au luat alte culori, diferite decât cele folosite până acum.

Un pătrat magic ezoteric, foloseşte criterii mai restrictive în ceea ce priveşte condiţiile unui pătrat magic, în aşa fel încât să existe una pentru fiecare n. În continuare sunt descrise condiţiile.

[modifică] Proprietate de echivalenţă

28	21	26
23	25	27
24	29	22

8	1	6
3	5	7
4	9	2

În sens ezoteric, se consideră numai pătratele magice care au aceleaşi cifre ca şi numărul căsuţelor (care urmăresc seria naturală de la 1 la n²). Pătratul din stânga nu este un pătrat magic ezoteric. În acest caz este rezultaul unui pătrat magic de n=3 a căror cifre au fost adăugate 20 (a fi comparat cu pătratul original din dreapta).

[modifică] Proprietatea colţurilor

• În sens ezoteric, un pătrat magic trebuie să îndeplinească unele condiţii de sumă a colţurilor lui (Pe care le numim Cifra magică-2, sau de al doilea ordin). Explicaţia cum se alfă:

• Dacă numim Compoziţie sumarea numerelor care compun pătratul magic: C= sum (1+2+3....), sau C= ((n²+1)×(n²/2) ...

• ...şi dacă numim Numărul bază (Nb) Compozăţia împărţită la numărul căsuţelor care compun pătratul, vom avea Nb= C / (n²).

• Obţinem şi Cifra magică, Înmulţind Numărul bază cu n Cm=Nb×n (sau invers, obţinem Nb, împărţind cifra magică la n Nb= Cm/n ).

r	_	_	s
_	_	_	_
_	_	_	_
t	_	_	u

r	_	s
_	_	_
t	_	u

Şi fiind Cifra magică-2 suma colţurilor, atunci: Cm2= r+s+t+u

Deci Cm2, suma colţurilor Cm2= Cm - (Nb( n-4))

Sau (plecând de la faptul că Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).

Sau reducând : Cm2= 4Cm / n.

Se semnalează în figuri căsuţele din colţuri, pentru pătrate de n=4 şi n=3

• Se deduce că dacă pătratul are mai puţine colţuri decăt 4, atunci această cifră este adunată, şi dacă este mai mare decât 4 colţuri, este scăzută. Pentru cazul în care sunt exact 4 colţuri, nici nu este adunată nici scăzută, sau adunată şi scăzută,(cum este preferat să fie considerat).

• Putem să verificăm că în pătratul magic de 4 suma celor 4 colţuri Cm2 = Cm (Cifra magică-2 = Cifra magică).

---

Iar suma cifrelor care formează o cruce (CRUX) (cele care sunt în mijloc între două colţuri adiacente), au ca sumă Cm2. Particularitatea n=par_impar produce două cazuri.

_	C	_
R	_	U
_	X	_

_	_	C1	C2	_	_
_	_	_	_	_	_
R1	_	_	_	_	U!
R2	_	_	_	_	U2
_	_	_	_	_	_
_	_	X1	X2	_	_

• Pentru cazul unde n=impar: Cm2= C +R +U +X (figura din stânga)

• Şi pentru cazul unde n=par cele două casuţe adiacente care formează o cruce în aceleaşi condiţii, doar că în acest caz fiind două grupuri de 4 căsuţe, este de două ori CM ; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +X1 +X2 )/2 (figura din dreapta)

Se arată un pătrat de n=3 ca exemplu de caz par, şi unul de n=6 ca exemplu de caz impar. Să se observe că în cazul impar, se iau cele două căsuţe centrale de CRUX, motivul, pentru că trebuie împărţit după aceea în doi.

---

• S-a remarcat că în tablă exemplul arătat despre pătratul magic cu cazul unde n= 7 : aplicat este C=1225 ; Nb=25 ; Cm= 25×7=175 ; Cm2= 175- (25(7-4)=100

• Se poate verifica Cm2=R+S+T+U , (colţurile, în bleu deschis 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

• În acelaşi mod se poate verifica Cm2=C+R+U+X ,(centrele crucii, en turquoise închis 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

lado n del cuadrado	Căsuţe n×n	Sumare (n²+1)×(n²/2)	Cifra magică C/n	Număr bază Cm/n	Cifra magică-2 Cm2= 4Cm / n
n	n²	C	Cm	Nb	Cm2
1	1	1	1	1	4 Non mag.
2	4	10	5	2,5	10 Non. mág.
3	9	45	15	5	20
4	16	136	34	8,5	34
5	25	325	65	13	52
6	36	666	111	18,5	74
7	49	1225	175	25	100
8	64	2080	260	32,5	130
9	81	3321	369	41	164

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

.

• Se poate înţelege că pătratul de 1 nu are 4 colţuri, şi totodată a lui cifră mágică-2, este 4, nefiind posibil să se adune mai mult decăt 1, nu poate fi un pătrat magic ezoteric.
• Pătratul de doi, chiar dacă are 4 colţuri, a lui cifră mágică-2 face să apară un rezultatul 10, ceea ce este imposibil să rezulte. Se explică mai sus în acest articol de ce un pătrat magic n=2, nu poate fi (Cm nu are resultat), şi acum de ce nu este ezoteric.

---

[modifică] Proprietăţi poziţionale

Ceea ce face ca un pătrat magic ezoteric să fie ordonat sunt îndeplinirea unor alte condiţii care sunt lejer diferite în pătratele cu n-par pe lângă cele cu n-impar. (acelaşi pătrat rotit sau reflectat nu mai rămâne ordonat dar continuă să fie ezoteric.

• n-impar: Nb ocupă căsuţa centrală. Cifra cea mai mare este în susul căsuţei centrale şi cea mai mică dedesubt. Colţul r este ocupat de cifra Nb-(n/2-(1/2)) şi colţul opus u de cifra Nb+(n/2-(1/2)). Colţul s este ocupat de cifra n/2+(1/2) şi căsuţa opusă t, de 2×Nb-(cifra s), sau, ceea ce dă aceelaşi rezultat, de cifra cea mai mare a pătratului magic, - (n/2-(1/2)).
• n-par : Căsuţa r (prima), este ocupată de cifra n, cifra 1 ocupă căsuţa s, şi ultima cifră, diagonala t, şi căsuţa u=t+s-r. Dacă este par, nu există căsuţă centrală, şi pentru acelaşi Nb, nu este întreg, şi nu ocupă nici o căsuţă.

---