Magisch vierkant
Een magisch vierkant is een vierkant schema waarin de getallen 1, 2, 3 enzovoorts zodanig zijn ingevuld dat de horizontale, de verticale en de beide diagonale rijen bij elkaar opgeteld dezelfde som opleveren.
Inhoud |
In dit 3 × 3-vierkant is de som steeds 15:
| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
Bijv: 8 + 1 + 6 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 en 6 + 5 + 4 = 15
Een bekend magisch vierkant komt voor op de gravure "Melencolia I" van Albrecht Dürer uit 1514 (het jaartal is verwerkt in het vierkant):
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Dit magisch vierkant is opmerkelijk omdat niet alleen de rijen, kolommen en diagonalen dezelfde som (het karakteristiek getal =34) hebben, maar onder meer ook: de vier hoekpunten; de vier middenste getallen; de blokken van 2x2 getallen in de linkerboven-, rechterboven-, linkerbeneden- of rechterbenedenhoek; de twee middenste getallen in de eerste en laatste kolom resp. in de bovenste en onderste rij.
De onderste rij bevat ook de cijfers 1 en 4, de rangnummers van A en D, de initialen van de kunstenaar. De som van alle getallen in het vierkant is 136 (= 4 x 34). De som van de rangnummers van de letters in Albrecht Dürer is 135, 1 minder. Het vierkant is wellicht een symbool voor de goddelijke inspiratie van de maker. Het getal 1 is het symbool voor God, misschien daarom is het cijfer 1 groter afgebeeld dan de andere cijfers.
[bewerk] Eigenschappen
[bewerk] Onderverdeling
Er zijn verschillende types magische vierkanten:
- pandiagonaal of panmagisch: bij deze vierkanten is ook de som van de subdiagonalen gelijk aan het karakteristiek getal
- volkomen perfect magisch: bij deze vierkanten geldt dat binnen elke 2x2 deelvierkant de som der getallen gelijk is.
- diagonaalmethode
- methode van de la Hire
[bewerk] orde is viervoud
- diagonaalmethoden
- methode van de la Hire
[bewerk] orde even maar geen viervoud
- methode van Strachey.
- methode van de la Hire.
[bewerk] de "medjig" methode (W.Barink), voor alle even orden >4
Deze methode is toepasbaar voor alle even orden >4. Je hebt daarbij de speeltegeltjes van de "medjig" puzzle nodig. Dat zijn in vier kwadranten verdeelde vierkantjes, waarop met stippen de getallen 0, 1, 2 en 3 zijn weergegeven, in alle mogelijke volgorden. De puzzel (uitgeverij PhilosSpiele; alleen in speciale, meer educatieve spellenwinkels te koop) bestaat uit 18 tegeltjes, alle 6 mogelijke volgorden zijn 3 maal aanwezig. Uiteraard is de puzzel gemakkelijk met wat huisvlijt, karton, schaar en viltstift zelf te maken. Het construeren van een magisch vierkant van orde 6 gaat dan als volgt.
Maak een willekeurige "medjig"-oplossing. Dat is een 3 x 3 gelegd vierkant waarin de som van de stippen in alle ontstane rijen, kolommen en diagonalen 9 is. Door de ruime keus aan benodigde volgorden is dit geen moeilijke opgave (bij het echte "medjig"-puzzelen moet je het met negen van te voren uitgenomen speelvierkantjes doen, dan is het wel moeilijk). Vervolgens neem je het klassieke magische vierkant van orde 3. En je breidt de 9 cijfers daarvan modulo-9 uit naar 36, het schema van je medjig-oplossing volgend. Bijvoorbeeld: Het hokje met het getal 8 verdeel je in vier kwadrantjes, waarin je, de medjig-oplossing volgend, de getallen 8 (= 8 + 0 x 9), 17 (= 8 + 1 x 9), 26 (= 8 + 2 x 9) en 35 (= 8 + 3 x 9) invult. Het hokje met het getal 3 breid je op dezelfde manier uit naar 3, 12, 21 en 30. Enzovoort. Oplossingen te kust en te keur. Zie onderstaand voorbeeld.
| 8 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 9 |
| 6 | 7 | 2 |
+
| 2 | 3 | 0 | 2 | 0 | 2 |
| 1 | 0 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 0 |
| 0 | 2 | 0 | 3 | 3 | 1 |
| 3 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 |
=
| 26 | 35 | 3 | 21 | 4 | 22 |
| 17 | 8 | 30 | 12 | 31 | 13 |
| 28 | 10 | 14 | 23 | 27 | 9 |
| 1 | 19 | 5 | 32 | 36 | 18 |
| 33 | 24 | 25 | 7 | 2 | 20 |
| 6 | 15 | 34 | 16 | 11 | 29 |
Op dezelfde manier kan je magische vierkanten van de orde 8 maken. Construeer daarbij eerst een 4 x 4 medjig-oplossing zodanig dat de som van de stippen in elke rij, kolom of diagonaal 12 is. Blijkt ook vrij eenvoudig te zijn. En breid één van de bekende magische vierkanten van de orde 4 modulo-16 uit naar 64. Evenzo orde 10. Construeer daarbij met twee setjes medjig stenen eerst een 5 x 5 medjig-oplossing.
Ook orde 12 geen probleem. Je gaat daarbij uit van een orde 6 magisch vierkant (wat je zojuist gemaakt hebt). Verdubbel horizontaal en verticaal een medjig-oplossing en breid modulo-36 uit volgens de ontstane medjig-matrix. Idem orde 16, enz...
